Составить дифференциальное уравнение из текста

[<-Sergey->]

Помогите пожалуйста составить дифференциальное уравнение по тексту задачи:

Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости $R(t)$. Начальная стоимость $R_0$. Во сколько раз обесценится оборудование через 6 лет, если через год оно обесценивается в 2 раза?

[Бодигрим]

Скорость - это dr/dt, пропорциональность стоимости - kr, где k - константа. И условия: r(0)=R_0, r(1)=R_0/2.

[<-Sergey->]

Спасибо за разъяснение, но что-то все равно не пойму как на основании этого составить уравнение, чтобы потом решить эту задачу. Может кто поможет?

[Gordmit]

Цитата:

Спасибо за разъяснение, но что-то все равно не пойму как на основании этого составить уравнение

Поясните, в чем у Вас возникают трудности.
Если величина $a(t)$ пропорциональна величине $b(t)$ (в каждый момент времени $t$), то это по определению означает, что $a(t)=kb(t)$, где $k$ - коэффициент пропорциональности - не зависит от $t$.

Теперь, как уже было сказано, если фактическая стоимость оборудования есть $R(t)$, то скорость его обесценивания равна $\frac{dR}{dt}$.

По условию, скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости $R(t)$.

В свете всего этого как будет выглядеть искомое дифференциальное уравнение?

[<-Sergey->]

Да, это понятно, получится
$\frac{dR}{dt}=kR(t)$
но как правильно составить функцию R(t) в соответствии с условием? Вот этого почему-то не могу понять Пробовал - фигня получается, думал что правильно будет:
$R(t)=\frac{R_0}{2t}$
но это похоже неправильно, и каким брать значение k?

[Бодигрим]

Решите полученное уравнение. Подсказка - получится почти что экспонента. Затем подставьте решение в граничные условия и найдите неизвестные постоянные (в т. ч. k). Затем найдите R(6).

[<-Sergey->]

При решении уравнения
$\frac{dR}{dt}=\frac{kR}{2t}$
получается
$R=t^{k/2}$
очень странная на мой взгляд зависимость... Я сделал что-то не так? Может R_0 надо считать постоянной? Тогда получается:
$R=\frac{kR_0}{2}ln|t|+c$
Думаю ни то ни то неправильно

[Brukvalub]

<-Sergey-> писал(а):

Да, это понятно, получится
$\frac{dR}{dt}=kR(t)$

Вот правильное уравнение.Решите его и подставьте начальные условия:

Бодигрим писал(а):

условия: r(0)=R_0, r(1)=R_0/2

Все должно получиться.

[Gordmit]

<-Sergey-> писал(а):

При решении уравнения
$\frac{dR}{dt}=\frac{kR}{2t}$
получается

Откуда получилось такое уравнение?
Вы же раньше написали правильное уравнение: $\frac{dR}{dt}=kR$. Каким образом оно превратилось в $\frac{dR}{dt}=\frac{kR}{2t}$?

[<-Sergey->]

Я выше писал, что
$R(t)=\frac{R_0}{2t}$
вот и подставил вместо R(t) думал это правильно
при решении уравнения
$\frac{dR}{dt}=kR$
получил что
$R=ce^{kt}$
при подстановке t=0 получаем, что $R_0=c$, то есть $R=R_0e^{kt}$
Правильно?

[Brukvalub]

Да, это верно.Теперь ищите к.

[<-Sergey->]

Получил, что $k=ln\frac{1}{2}$
Подставил в уравнение, получил, что $R(t)=R_0e^{ln\frac{1}{2}*t}$
Нашел, что $R(6)=R_0e^{6ln\frac{1}{2}}$
Чтобы найти во сколько раз обесценилось оборудование, нашел отношение $\frac{R(6)}{R_0}=e^{6ln\frac{1}{2}}$
Получается, что ответ - оборудование обесценилось в $e^{6ln\frac{1}{2}}$ раз.
Я правильно решил?

[Someone]

Правильно. Но $e^{6\ln\frac 12}$ хотелось бы записать попроще, тем более, что это рациональное число.

[<-Sergey->]

Так чтоли?
$e^{6\ln\frac12}=(\frac12)^6=\frac{1}{64}$

[Brukvalub]

Молодец.