2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Составить дифференциальное уравнение из текста
Сообщение06.05.2007, 11:18 
Помогите пожалуйста составить дифференциальное уравнение по тексту задачи:

Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости $R(t)$. Начальная стоимость $R_0$. Во сколько раз обесценится оборудование через 6 лет, если через год оно обесценивается в 2 раза?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 14:57 
Аватара пользователя
Скорость - это dr/dt, пропорциональность стоимости - kr, где k - константа. И условия: r(0)=R_0, r(1)=R_0/2.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 19:46 
Спасибо за разъяснение, но что-то все равно не пойму как на основании этого составить уравнение, чтобы потом решить эту задачу. Может кто поможет?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 20:26 
Цитата:
Спасибо за разъяснение, но что-то все равно не пойму как на основании этого составить уравнение
Поясните, в чем у Вас возникают трудности.
Если величина $a(t)$ пропорциональна величине $b(t)$ (в каждый момент времени $t$), то это по определению означает, что $a(t)=kb(t)$, где $k$ - коэффициент пропорциональности - не зависит от $t$.

Теперь, как уже было сказано, если фактическая стоимость оборудования есть $R(t)$, то скорость его обесценивания равна $\frac{dR}{dt}$.

По условию, скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости $R(t)$.

В свете всего этого как будет выглядеть искомое дифференциальное уравнение?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 20:40 
Да, это понятно, получится
$\frac{dR}{dt}=kR(t)$
но как правильно составить функцию R(t) в соответствии с условием? Вот этого почему-то не могу понять Пробовал - фигня получается, думал что правильно будет:
$R(t)=\frac{R_0}{2t}$
но это похоже неправильно, и каким брать значение k?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 20:50 
Аватара пользователя
Решите полученное уравнение. Подсказка - получится почти что экспонента. Затем подставьте решение в граничные условия и найдите неизвестные постоянные (в т. ч. k). Затем найдите R(6).

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 21:15 
При решении уравнения
$\frac{dR}{dt}=\frac{kR}{2t}$
получается
$R=t^{k/2}$
очень странная на мой взгляд зависимость... Я сделал что-то не так? Может R_0 надо считать постоянной? Тогда получается:
$R=\frac{kR_0}{2}ln|t|+c$
Думаю ни то ни то неправильно :(

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 21:20 
Аватара пользователя
<-Sergey-> писал(а):
Да, это понятно, получится
$\frac{dR}{dt}=kR(t)$
Вот правильное уравнение.Решите его и подставьте начальные условия:
Бодигрим писал(а):
условия: r(0)=R_0, r(1)=R_0/2
Все должно получиться.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 21:21 
<-Sergey-> писал(а):
При решении уравнения
$\frac{dR}{dt}=\frac{kR}{2t}$
получается
Откуда получилось такое уравнение? :shock:
Вы же раньше написали правильное уравнение: $\frac{dR}{dt}=kR$. Каким образом оно превратилось в $\frac{dR}{dt}=\frac{kR}{2t}$?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 21:38 
Я выше писал, что
$R(t)=\frac{R_0}{2t}$
вот и подставил вместо R(t) думал это правильно
при решении уравнения
$\frac{dR}{dt}=kR$
получил что
$R=ce^{kt}$
при подстановке t=0 получаем, что $R_0=c$, то есть $R=R_0e^{kt}$
Правильно?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 21:39 
Аватара пользователя
Да, это верно.Теперь ищите к.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 21:58 
Получил, что $k=ln\frac{1}{2}$
Подставил в уравнение, получил, что $R(t)=R_0e^{ln\frac{1}{2}*t}$
Нашел, что $R(6)=R_0e^{6ln\frac{1}{2}}$
Чтобы найти во сколько раз обесценилось оборудование, нашел отношение $\frac{R(6)}{R_0}=e^{6ln\frac{1}{2}}$
Получается, что ответ - оборудование обесценилось в $e^{6ln\frac{1}{2}}$ раз.
Я правильно решил?

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 22:10 
Аватара пользователя
Правильно. Но $e^{6\ln\frac 12}$ хотелось бы записать попроще, тем более, что это рациональное число.

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 22:18 
Так чтоли?
$e^{6\ln\frac12}=(\frac12)^6=\frac{1}{64}$

 
 
 
 
Сообщение06.05.2007, 22:19 
Аватара пользователя
Молодец.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group