Найти двойственный конус

[manman5000]

Здравствуйте!
Есть следующая задача:

В простравнстве $R^{n+1}$ задан конус $K = \{(x,t) : ||x|| \leqslant t, x \in R^n, t \in R\}$

В определении конуса рассматриваются нормы:

$||x||_1 = \sum_{i} {|x_i|}$
$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i} {|x_i^2|}}$
$||x|| = \max{x_i}$

А вот скалярное произведение между элементами $r=(x,t)$ и $s=(y,u)$ задается формулой:
$<r,s> = x^{T} \cdot y + t \cdot u$

При n=3, когда норма равна $||x||_2 = \sqrt{\sum_{i} {|x_i^2|}}$ - легко понять, как выглит конус и собственно легко дать ответ и доказать почему ответ именно такой.

А что делать в остальных случаях?
Я так понимаю, что надо додуматься до вида этого конуса, указать его, а потом еще как-то доказать, что именно он и является двойственным (что нет "большего" конуса, который также является двойственным)

Помогите пожалуйста хотя бы идейно. Как догадаться как выглядят двойственные конусы?

Заранее спасибо

[alcoholist]

manman5000 в сообщении #645616 писал(а):

А что делать в остальных случаях?
Я так понимаю, что надо додуматься до вида этого конуса

Ну как тут додумаешься?

Надо просто пользоваться определением:

$$ K^*=\{(y,s)\,|\,x\cdot y+ts\ge 0\quad \forall (x,t)\in K\}. $$

По ходу надо понять для каких $x$ достигается минимум выражения $x\cdot y+ts$ при фиксированном $(y,s)$

ответ там красивый получается

[manman5000]

А можно поподробней, как искать минимум такого выражения?

Тем более минимум ищется не по $x$, а по паре $(x,t)$

[arseniiv]

($\TeX$.)

manman5000 в сообщении #645616 писал(а):

$<r,s> = x^{T} \cdot y + t \cdot u$

Угловые скобочки — \langle и \rangle: $\langle r, s \rangle$.

[manman5000]

Да, скобочки не рассмотрел)

[alcoholist]

manman5000 в сообщении #645751 писал(а):

Тем более минимум ищется не по $x$, а по паре $(x,t)$

ну, разумеется)
Только надо сообразить, что пара заведомо имеет вид $(x,\|x\|)$