О свойствах канторовой лестницы

[Evgenii2012]

Интересно, что происходит с производной канторовой лестницы в точках канторова множества. Хорошо известно, что производной в классическом смысле не существует, однако, по этому поводу возникают следующие вопросы: 1) существуют ли односторонние (левая и правая) производные в точках канторова множества (понятно, что одна из односторонних производных равна нулю в точках, являющихся концами выбрасываемых интервалов); 2) будет ли величина $\limsup\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|}<\infty,$ где $x_0\in E,$ $E$ -- канторово множество, а $f$ -- канторова лестница.

Моё мнение: односторонняя производная в некоторых точках не существует (нет ни конечного, ни бесконечного предела); величина $\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|}$ не ограничена при $x\rightarrow x_0.$ Если у кого-то имеются на этот счёт свои соображения, буду рад узнать их.

[lyuk]

В каждой точке канторового множества канторова лестница имеет производную $+\infty$, за исключением когцов интервалов из дополнения канторового множества, где одна из односторонних производных равна 0, а другая $+\infty$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за сообщение. А как это доказать ? Если Вам не очень трудно, расскажите доказательство, либо приведите какие-либо наводящие соображения. (С концами интервалов, где односторонняя производная равна нулю, всё ясно; вопрос у меня возникает как раз с теми односторонними производными, где функция не равна постоянной).

[Evgenii2012]

Кажется, я сам понял, как решить эту задачу, и могу выложить решение. Желающие могут внести свои комментарии (буду рад услышать), для дальнейшего обсуждения.

Поскольку канторова лестница кусочно постоянна на выброшенных интервалах, достаточно рассмотреть предел
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$ когда $x_0\in E$ и $x\in E,$ где $E$--канторово множество. Заметим, что в троичной системе исчисления точки множества $E$ могут быть записаны в виде: $x_0=0, a_1^{0}a_2^{0}\ldots a_m^{0}\ldots\quad (3),$ $x=0, a_1a_2\ldots a_m\ldots\quad (3).$
Соответствующие значения канторовой лестницы в двоичной системе исчисления могут быть записаны в виде $f(x_0)=0, b_1^{0}b_2^{0}\ldots b_m^{0}\ldots\quad (2),$ $x=0, b_1b_2\ldots b_m\ldots\quad (2),$ где $b_m:=a_m/2,$ и $b_m^{0}:=a_m^{0}/2.$

\medskip
Тогда при $x\rightarrow x_0$ найдётся функция $n=n(x)$ такая, что $a_m=a_m^{0}$ при всех $m<n.$ Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что $a_n\ne a_n^{0}$ (мы берём, как обычно, $x\rightarrow x_0$ и $x\ne x_0,$ поэтому все элементы представлений $x$ и $x_0$ не могут совпадать). Строго говоря, последовательность $n$ зависит от $x$ и, кроме того, $n=n(x)\rightarrow\infty$ при $x\rightarrow x_0.$

\medskip
Учитывая во внимание всё сказанное выше, имеем:

\medskip

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1/2\sum\limits_{k=n}^{\infty} \frac{a_k-a_k^{0}}{2^k}}{\sum\limits_{k=n}^{\infty}\frac{a_k-a_k^0}{3^k}}\ge $$

$$\ge\frac{\left(1/2\right)\cdot{\left(1/2\right)}^{n}}{2\sum\limits_{k={n}}^{\infty}\frac{1}{3^k}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}\rightarrow\infty $$

%
при $n\rightarrow\infty,$ что и доказывает бесконечность производной данной функции в указанной точке $x_0.$
См. также книгу Е. Титчамарш, Теория функций, где есть некоторые наводящие соображения (доказательство непрерывности канторовой лестницы, с. 376 и прочее. У меня нет полных выходных данных этой книги, издание русское).

Буду рад услышать Ваши комментарии и исправления.