2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О свойствах канторовой лестницы
Сообщение16.11.2012, 16:01 


09/11/12
233
Донецк
Интересно, что происходит с производной канторовой лестницы в точках канторова множества. Хорошо известно, что производной в классическом смысле не существует, однако, по этому поводу возникают следующие вопросы: 1) существуют ли односторонние (левая и правая) производные в точках канторова множества (понятно, что одна из односторонних производных равна нулю в точках, являющихся концами выбрасываемых интервалов); 2) будет ли величина $\limsup\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|}<\infty,$ где $x_0\in E,$ $E$ -- канторово множество, а $f$ -- канторова лестница.

Моё мнение: односторонняя производная в некоторых точках не существует (нет ни конечного, ни бесконечного предела); величина $\frac{|f(x)-f(x_0)|}{|x-x_0|}$ не ограничена при $x\rightarrow x_0.$ Если у кого-то имеются на этот счёт свои соображения, буду рад узнать их.

 Профиль  
                  
 
 Re: О свойствах канторовой лестницы
Сообщение17.11.2012, 22:59 


22/11/11
128
В каждой точке канторового множества канторова лестница имеет производную $+\infty$, за исключением когцов интервалов из дополнения канторового множества, где одна из односторонних производных равна 0, а другая $+\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О свойствах канторовой лестницы
Сообщение18.11.2012, 00:22 


09/11/12
233
Донецк
Большое спасибо за сообщение. А как это доказать ? Если Вам не очень трудно, расскажите доказательство, либо приведите какие-либо наводящие соображения. (С концами интервалов, где односторонняя производная равна нулю, всё ясно; вопрос у меня возникает как раз с теми односторонними производными, где функция не равна постоянной).

 Профиль  
                  
 
 Re: О свойствах канторовой лестницы
Сообщение18.11.2012, 05:28 


09/11/12
233
Донецк
Кажется, я сам понял, как решить эту задачу, и могу выложить решение. Желающие могут внести свои комментарии (буду рад услышать), для дальнейшего обсуждения.

Поскольку канторова лестница кусочно постоянна на выброшенных интервалах, достаточно рассмотреть предел
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$ когда $x_0\in E$ и $x\in E,$ где $E$--канторово множество. Заметим, что в троичной системе исчисления точки множества $E$ могут быть записаны в виде: $x_0=0, a_1^{0}a_2^{0}\ldots a_m^{0}\ldots\quad (3),$ $x=0, a_1a_2\ldots a_m\ldots\quad (3).$
Соответствующие значения канторовой лестницы в двоичной системе исчисления могут быть записаны в виде $f(x_0)=0, b_1^{0}b_2^{0}\ldots b_m^{0}\ldots\quad (2),$ $x=0, b_1b_2\ldots b_m\ldots\quad (2),$ где $b_m:=a_m/2,$ и $b_m^{0}:=a_m^{0}/2.$

\medskip
Тогда при $x\rightarrow x_0$ найдётся функция $n=n(x)$ такая, что $a_m=a_m^{0}$ при всех $m<n.$ Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что $a_n\ne a_n^{0}$ (мы берём, как обычно, $x\rightarrow x_0$ и $x\ne x_0,$ поэтому все элементы представлений $x$ и $x_0$ не могут совпадать). Строго говоря, последовательность $n$ зависит от $x$ и, кроме того, $n=n(x)\rightarrow\infty$ при $x\rightarrow x_0.$

\medskip
Учитывая во внимание всё сказанное выше, имеем:

\medskip
$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{1/2\sum\limits_{k=n}^{\infty}
\frac{a_k-a_k^{0}}{2^k}}{\sum\limits_{k=n}^{\infty}\frac{a_k-a_k^0}{3^k}}\ge $$

$$\ge\frac{\left(1/2\right)\cdot{\left(1/2\right)}^{n}}{2\sum\limits_{k={n}}^{\infty}\frac{1}{3^k}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}\rightarrow\infty $$
%
при $n\rightarrow\infty,$ что и доказывает бесконечность производной данной функции в указанной точке $x_0.$
См. также книгу Е. Титчамарш, Теория функций, где есть некоторые наводящие соображения (доказательство непрерывности канторовой лестницы, с. 376 и прочее. У меня нет полных выходных данных этой книги, издание русское).

Буду рад услышать Ваши комментарии и исправления.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group