2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение05.11.2012, 18:51 


16/08/09
304
Итак: надо доказать, что выражение

$X^3  + Y^3  = Z^3 \qquad (1)$


не выполняется при любых $X,Y,Z \in N;X,Y,Z -  $ взаимно простые числа, сразу поведем речь о втором случае, когда одно из чисел кратно 3.

Представим левую часть (1) в виде
$X^3  + Y^3  =   (X + Y)(X^2  - XY + Y^2 ) =  (X + Y)^3  -  3XY(X + Y)\qquad (2)$

Представим правую часть (1) в виде

$Z^3  = ((X +   Y) -   k)^3  =  (X +   Y)^3   - 3k(X +   Y)^2   +  3k^2 (X +   Y) -  k^3\qquad(3)$

Подставим (2) и (3) в (1)

$(X + Y)^3  -  3XY(X + Y)   =  (X +   Y)^3   - 3k(X +   Y)^2   +  3k^2 (X +   Y) -  k^3\qquad(4)$

Преобразуем (4)

$\begin{array}{l}
 (X + Y)^3  -  3XY(X + Y)   =  (X +   Y)^3   - 3k(X +   Y)^2   +  3k^2 (X +   Y) -  k^3   \\ 
\\ 
k^3   =  3XY(X + Y)  - 3k(X +   Y)^2   +  3k^2 (X +   Y) \\ 
\\
k^3   =  3(X + Y)(XY  - k(X +   Y)  +  k^2 )\qquad\qquad (5) \\ \end{array}$

Теперь рассмотрим (5) на предмет кратности 3 c учетом свойств (1)
1 вариант:

$Z \bot 3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.

2 вариант:
$Z$ кратно 3, тогда $(X, Y) \bot 3$

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, $(XY  - k(X +   Y)  +  k^2 ) \bot 3$, тогда,
чтобы равенство (5) сохранилось $(X+Y)$ должно быть кратно $3^2 $ .

Из двух рассмотренных вариантов получили условия выполнимости выражения (1)

$X^3  + Y^3  = Z^3\text {, если Z кратно 3}\qquad (6)$

Но если мы преобразуем (1) в (1a)

$Z^3  - X^3  = Y^3\qquad(1a)$

То путем аналогичных преобразований получим, что для выражения (1a) действуют следующие условия выполнимости:

$Z^3  - X^3  = Y^3\text {, если Y кратно 3}\qquad (7)$

И для выражения (1b)

$Z^3  - X^3  =   Y^3 \qquad(1b)$

Получим такие условия выполнимости:

$Z^3  - X^3  =   Y^3\text {, если X кратно 3}\qquad (8)$


Получили противоречия между (6), (7) и (8)
И значит выражение (1) не выполняется при заявленных начальных условиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение05.11.2012, 19:22 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Belfegor в сообщении #640383 писал(а):
$k^3   =  3(X + Y)(XY  - k(X +   Y)  +  k^2 )\qquad\qquad(5)$
...
$Z\mathbin{\not\vdots}3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.
...
$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.

Противоречия не вижу. Первый сомножитель в правой части (5) равен $3$, второй - не делится на $3$, значит, третий сомножитель должен делиться на $3^2$. Он равен, как несложно видеть, произведению $(X-k)(Y-k)$. Если, скажем, $X$ делится на $3$, а $Y$ — нет, то $Y-k$ не делится на $3$, но нет ничего, что мешало бы $X-k$ делиться сразу на $3^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение05.11.2012, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17241
Москва
Belfegor в сообщении #640383 писал(а):
$Z \bot 3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.
Не получаем. Это просто означает, что то самое "$X$ или $Y$" делится на $3^2$. Дальше продвинуться нельзя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение08.11.2012, 11:59 


27/03/12
424
г. новосибирск
Уважаемый Belfegor! Если X кратно 3. то выражаем $X = Z - Y + K$ и по вашей методике имеем$K^3 = 3(Z - Y)(ZY - k(Z - Y) + k^2)$ и левая часть кратная как минимум $3^6$ будет эквивалентна по модулю $3^6$ правой части равенства, где благодаря формулам Абеля $Z - Y$ кратен как минимум $3^5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение13.11.2012, 21:04 


16/08/05
1063
Someone в сообщении #640407 писал(а):
Belfegor в сообщении #640383 писал(а):
$Z \bot 3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.
Не получаем. Это просто означает, что то самое "$X$ или $Y$" делится на $3^2$. Дальше продвинуться нельзя.

А посмотрите ещё раз внимательно. Если "$X$ или $Y$" делится на $3^2$, то неизбежно $k$ делится на $3^2$. Но тогда "$X$ или $Y$" обязано делится на $3^3$.

Т.е. получилось, что $27\mid XYZ$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение13.11.2012, 21:15 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
dmd в сообщении #644198 писал(а):
А посмотрите ещё раз внимательно. Если "$X$ или $Y$" делится на $3^2$, то неизбежно $k$ делится на $3^2$.
Ок.
dmd в сообщении #644198 писал(а):
Но тогда "$X$ или $Y$" обязано делится на $3^3$
А это вы как получили?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение13.11.2012, 21:35 


16/08/05
1063
venco в сообщении #644207 писал(а):
dmd в сообщении #644198 писал(а):
Но тогда "$X$ или $Y$" обязано делится на $3^3$
А это вы как получили?

Из выражения (5):

$k^3=3(X+Y)(X-k)(Y-k)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение13.11.2012, 22:15 
Заслуженный участник


04/05/09
4511
Я спросил не откуда, а как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3
Сообщение17.11.2012, 20:17 


16/08/05
1063
У меня снова ошибка, не получается кратность $3^3$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group