Ноу-хау в доказательстве ВТФ для n=3

[Belfegor]

Итак: надо доказать, что выражение

$X^3 + Y^3 = Z^3 \qquad (1)$


не выполняется при любых $X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $ взаимно простые числа, сразу поведем речь о втором случае, когда одно из чисел кратно 3.

Представим левую часть (1) в виде
$X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 - XY + Y^2 ) = (X + Y)^3 - 3XY(X + Y)\qquad (2)$

Представим правую часть (1) в виде

$Z^3 = ((X + Y) - k)^3 = (X + Y)^3 - 3k(X + Y)^2 + 3k^2 (X + Y) - k^3\qquad(3)$

Подставим (2) и (3) в (1)

$(X + Y)^3 - 3XY(X + Y) = (X + Y)^3 - 3k(X + Y)^2 + 3k^2 (X + Y) - k^3\qquad(4)$

Преобразуем (4)

$\begin{array}{l} (X + Y)^3 - 3XY(X + Y) = (X + Y)^3 - 3k(X + Y)^2 + 3k^2 (X + Y) - k^3 \\ \\ k^3 = 3XY(X + Y) - 3k(X + Y)^2 + 3k^2 (X + Y) \\ \\ k^3 = 3(X + Y)(XY - k(X + Y) + k^2 )\qquad\qquad (5) \\ \end{array}$

Теперь рассмотрим (5) на предмет кратности 3 c учетом свойств (1)
1 вариант:

$Z \bot 3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.

2 вариант:
$Z$ кратно 3, тогда $(X, Y) \bot 3$

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, $(XY - k(X + Y) + k^2 ) \bot 3$, тогда,
чтобы равенство (5) сохранилось $(X+Y)$ должно быть кратно $3^2 $ .

Из двух рассмотренных вариантов получили условия выполнимости выражения (1)

$X^3 + Y^3 = Z^3\text {, если Z кратно 3}\qquad (6)$

Но если мы преобразуем (1) в (1a)

$Z^3 - X^3 = Y^3\qquad(1a)$

То путем аналогичных преобразований получим, что для выражения (1a) действуют следующие условия выполнимости:

$Z^3 - X^3 = Y^3\text {, если Y кратно 3}\qquad (7)$

И для выражения (1b)

$Z^3 - X^3 = Y^3 \qquad(1b)$

Получим такие условия выполнимости:

$Z^3 - X^3 = Y^3\text {, если X кратно 3}\qquad (8)$


Получили противоречия между (6), (7) и (8)
И значит выражение (1) не выполняется при заявленных начальных условиях.

[migmit]

Belfegor в сообщении #640383 писал(а):

$k^3 = 3(X + Y)(XY - k(X + Y) + k^2 )\qquad\qquad(5)$
...
$Z\mathbin{\not\vdots}3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.
...
$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.

Противоречия не вижу. Первый сомножитель в правой части (5) равен $3$, второй - не делится на $3$, значит, третий сомножитель должен делиться на $3^2$. Он равен, как несложно видеть, произведению $(X-k)(Y-k)$. Если, скажем, $X$ делится на $3$, а $Y$ — нет, то $Y-k$ не делится на $3$, но нет ничего, что мешало бы $X-k$ делиться сразу на $3^2$.

[Someone]

Belfegor в сообщении #640383 писал(а):

$Z \bot 3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.

Не получаем. Это просто означает, что то самое "$X$ или $Y$" делится на $3^2$. Дальше продвинуться нельзя.

[vasili]

Уважаемый Belfegor! Если X кратно 3. то выражаем $X = Z - Y + K$ и по вашей методике имеем$K^3 = 3(Z - Y)(ZY - k(Z - Y) + k^2)$ и левая часть кратная как минимум $3^6$ будет эквивалентна по модулю $3^6$ правой части равенства, где благодаря формулам Абеля $Z - Y$ кратен как минимум $3^5$.

[dmd]

Someone в сообщении #640407 писал(а):

Belfegor в сообщении #640383 писал(а):

$Z \bot 3$ , тогда $(X\text {или} Y)$ кратно $3$.

$k^3 $ минимум кратно $3^3 $, а правая часть (5) кратна $3^2 $ - получили противоречие.

Не получаем. Это просто означает, что то самое "$X$ или $Y$" делится на $3^2$. Дальше продвинуться нельзя.

А посмотрите ещё раз внимательно. Если "$X$ или $Y$" делится на $3^2$, то неизбежно $k$ делится на $3^2$. Но тогда "$X$ или $Y$" обязано делится на $3^3$.

Т.е. получилось, что $27\mid XYZ$.

[venco]

dmd в сообщении #644198 писал(а):

А посмотрите ещё раз внимательно. Если "$X$ или $Y$" делится на $3^2$, то неизбежно $k$ делится на $3^2$.

Ок.

dmd в сообщении #644198 писал(а):

Но тогда "$X$ или $Y$" обязано делится на $3^3$

А это вы как получили?

[dmd]

venco в сообщении #644207 писал(а):

dmd в сообщении #644198 писал(а):

Но тогда "$X$ или $Y$" обязано делится на $3^3$

А это вы как получили?

Из выражения (5):

$k^3=3(X+Y)(X-k)(Y-k)$

[venco]

Я спросил не откуда, а как?

[dmd]

У меня снова ошибка, не получается кратность $3^3$.