Задача 1.207 из сборника задач по общей физике И.Е.Иродова

[Alexander Y.M.]

Здравствуйте, уважаемые участники форума.
Подвернулась мне интересная задача из сборника И.Е.Иродова.
Задача такая.

Цитата:

На гладкой горизонтальной плоскости движется небольшое тело массы $m$, привязанное к нерастяжимой нити, другой конец которой вытягивают в отверстие О с постоянной скоростью. Найти силу натяжения нити в зависимости от расстояния $r$ тела до отверстия, если при r=r_0 угловая скорость нити была равна \omega_0.

Моё решение выглядит так.

1) Применим закон сохранения момента импульса.
(В силу того, что радиус-вектор положения тела в каждый момент времени направлен вдоль нити,
а также сила натяжения нити направлена вдоль нити, момент внешней силы равен нулю - значит момент импульса сохраняется.)
$(m\omega_0r_0)r_0 = (m\omega r)r$ (1)

2) Второй закон Ньютона в проекции на направление вдоль нити:
$T(r) = m\omega^2r$ (2)

3) Из 1 и 2 имеем:
$\omega = \frac{\omega_0 r_0^2}{r^2}$ из (1)
$T(r) = \frac{m\omega_0^2r_0^4}{r^3}$ из (1, 2)

Ответ (зависимость T(r)) верный, НО, вот у меня есть некоторое недопонимание и вопросы, на которые я сам себе ответить не могу. Надеюсь, что более опытные коллеги подскажут (сам я на первом курсе физфака учусь и я хочу во всех тонкостях разобраться). Сомнения вот какие: ясно, что тело будет приближаться к центру равномерно, поскольку нить тянут равномерно и никаких других сил на тело не действует, кроме силы со стороны нити. То-есть у тела присутствует составляющая скорости вдоль нити в каждый момент времени.
То-есть сила натяжения вовсе не перпендикулярна скорости. А уравнение (2) подразумевает, что она перпендикулярна. Что я делаю не так и как должно выглядеть грамотное рассуждение?

Спасибо.

[Alexandr007]

Alexander Y.M. в сообщении #645530 писал(а):

То-есть сила натяжения вовсе не перпендикулярна скорости. А уравнение (2) подразумевает, что она перпендикулярна.

Разложим скорость на составляющие, одну возьмем вдоль радиуса, другую перпендикулярно радиусу. К натяжению нити будет приводить только нормальная составляющая скорости (представьте что вся картинка вращается и ускорение перпендикулярно скорости), а составляющая вдоль радиуса приводит к ускорению поперек нити и увеличению нормальной компоненты(наверно можно говорить о силе Кориолиса).

[Alexander Y.M.]

Alexandr007,
я правильно понимаю, что вы хотите сказать:
$T(r) = \frac{mv_n^2}{r}$, где
$v_n$ - проекция скорости $v = \omega r$ на направление перпендикулярное к нити?

[zer0]

Alexander Y.M. в сообщении #645570 писал(а):

Alexandr007,
я правильно понимаю, что вы хотите сказать:
$T(r) = \frac{mv_n^2}{r}$, где
$v_n$ - проекция скорости $v = \omega r$ на направление перпендикулярное к нити?

$v = \omega r$ и есть перпендикулярная нити, поскольку строго это векторное произведение: $\vec \upsilon = \vec \omega \times \vec r $

[Батороев]

Alexander Y.M. в сообщении #645530 писал(а):

Сомнения вот какие: ясно, что тело будет приближаться к центру равномерно, поскольку нить тянут равномерно и никаких других сил на тело не действует, кроме силы со стороны нити. То-есть у тела присутствует составляющая скорости вдоль нити в каждый момент времени.
То-есть сила натяжения вовсе не перпендикулярна скорости. А уравнение (2) подразумевает, что она перпендикулярна.

Сила натяжения нити перпендикулярна скорости, но она переменная. По модулю эта сила равна силе от нормального ускорения тела, которое растет в зависимости от уменьшения радиуса $r$, что и отражено в выражении (2): $T(r) = m\omega^2r=ma_n$

p.s. В таких задачах, как правило, скорость $v$ считается постоянной (т.е. сопротивлением воздуха пренебрегают).

[Батороев]

Небольшая поправка:

Батороев в сообщении #645623 писал(а):

Сила натяжения нити перпендикулярна скорости

Имеется в виду окружная скорость $v$. Направление абсолютной скорости тела будет определяться векторной суммой $v$ и $v_1$ (где $v_1$ - скорость сматывания нити).

[zer0]

С какой стати $v$ постоянна ?

[Батороев]

zer0 в сообщении #645724 писал(а):

С какой стати $v$ постоянна ?

Пардон, ошибся. Скорость принимают постоянной в задачах с вращением на нити постоянной длины. В варианте с изменяемой длиной нити это, естественно, не так.