Квадрат и пятая степень (блиц-бой ТЮМа)

[Ktina]

а) Доказать, что квадрат любого натурального числа содержит в своей десятичной записи либо нечётную цифру, либо четвёрку.
б) Верно ли это для пятой степени?

[ИСН]

Для квадратов, скорее всего, достаточно рассмотреть две последние цифры. (Квадрата, не самого числа.)
Для пятой степени, однако, мало и последних пяти...

[Ktina]

ИСН в сообщении #645647 писал(а):

Для квадратов, скорее всего, достаточно рассмотреть две последние цифры. (Квадрата, не самого числа.)
Для пятой степени, однако, мало и последних пяти...

Для пятой степени решается не труднее, чем для квадрата
И двух цифр достаточно...

[zhoraster]

Двух точно недостаточно: $18^5 = 1889568$.

-- Сб ноя 17, 2012 13:35:08 --

Ага, двух цифр достаточно (числа, а не степени). На самом деле, там очень мало надо рассмотреть - окончания $2,4,6,08,18,28,38,48$ (даже можно только $2,4,6,08$ рассмотреть: у $x8$ третья цифра с конца будет иметь ту же (не)четность, что и у $08$).

[Руст]

a) тривиально.
Пусть $m=a_0+a_1*10+a_2*10^2+...$. Тогда $m^n=a_0^n+na_0^{n-1}a_1*10+n(a_0^{n-1}a_2+\frac{n-1}{2}a_0^{n-2}a_1^2)*100+...$
Если $a_0$ нечетное, то ничего доказывать. Случай $a_0=0$ исключается вычеркиванием не нужных нулей с конца.
При $n=2$ случаи $a_0=2,8$ тривиальны, в случае $a_0=4,6$ вторые цифры $a_0^2$ нечетны.
b) В случае $n=5$ остается рассмотреть только случай $a_0=2,6,8$ ($4^5=1024$ заканчивается на 4).
$2^5=32$, Следовательно $m^5$ заканчивается на 32 при $a_0=2$ и на $6^5=**76$.
Остается проверять только $a_0=8$/ В этом случае $a_0^5=32768$. Вторая цифра $a_1$ влияет только на третью с конца цифру, но не меняет четность для $a_0=8$, $a_2$ и далее влияют только на четвертую с конца цифру. Это доказывает $b)$.