Выделение гармоник сигнала

[Babeuf]

Здравствуйте. У меня есть функция:
$I(t)=I_0 \cdot \(\exp(100 \sin(t))-1)$, где $t=0...16$
Мне нужно:
1. Аналитически заданную функцию перевести в массив.
2. Сделать дискретное преобразование фурье.
3. Выделить первую и вторую гармоники, и вычислить их отношение.

В связи с этим появились вопросы:
1. Накладываются ли на размерность массива какие-то ограничения?
2. Правильно ли я понимаю, что для нахождения n-ой гармоники нужно взять модуль соответствующего элемента массива и поделить на кол-во элементов массива. Т. е. для первой гармоники:
[\sqrt{(\operatorname{Re}(X[1]))^2+(\operatorname{Im}(X[1]))^2}]/N$, где $N$ - кол-во элементов массива?

P.S. Для решения задачи использую Maple 15, с функцией FourierTransform из стандартной библиотеки DiscreteTransforms.

[Comanchero]

- Размерность, как я понимаю, равна 17
- Используйте дискретное преобразование Фурье, оттуда всё и "вытечет"...

[Munin]

(Оффтоп)

Comanchero в сообщении #645506 писал(а):

Размерность, как я понимаю, равна 17

По-моему, эта фраза настолько совершенна, что может быть вставлена в любой разговор, совершенно независимо от контекста.

[Babeuf]

Comanchero в сообщении #645506 писал(а):

- Размерность, как я понимаю, равна 17
- Используйте дискретное преобразование Фурье, оттуда всё и "вытечет"...

Вот, как выглядит график функции $I(t)$:

А так выглядит график функции получаемый из массива размерностью $17$:

Это не влияет на точность вычислений?
И ещё в теории для Дискретного преобразования фурье выполняется суммирование с $0$, а Maple производит это суммирование с $1$. Не получится ли, что вычисляя
A_1=[\sqrt{(\operatorname{Re}(X[1]))^2+(\operatorname{Im}(X[1]))^2}]/N$, я на самом деле вычислю амплитуду 0-ой гармоники.

[Munin]

Babeuf в сообщении #645617 писал(а):

Это не влияет на точность вычислений?

Ещё как влияет. Всё летит к чёрту. Видите же, что пики похарчились, один вообще пропал.

[Comanchero]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #645566 писал(а):

По-моему, эта фраза настолько совершенна, что может быть вставлена в любой разговор, совершенно независимо от контекста

Иногда, возникает ложное предубеждение... Решил(видимо с потолка) что $t = 0...16 $ в области целых чисел.

[Babeuf]

Munin в сообщении #645632 писал(а):

Babeuf в сообщении #645617 писал(а):

Это не влияет на точность вычислений?

Ещё как влияет. Всё летит к чёрту. Видите же, что пики похарчились, один вообще пропал.

Поэтому и уточнил, рекомендация взять массив из 17 элементов меня очень удивила.
Но всё-таки в теории для ДПФ выполняется суммирование с $0$, а Maple производит это суммирование с $1$. Не получится ли, что вычисляя
A_1=[\sqrt{(\operatorname{Re}(X[1]))^2+(\operatorname{Im}(X[1]))^2}]/N$, я на самом деле вычислю амплитуду 0-ой гармоники.
Или нулевая гармоника имеет смысл только для ряда Фурье?

[Maslov]

Про Maple не знаю, но в стандартном варианте FFT нулевой коэффициент соответствует нулевой частоте и дает среднее значение сигнала.

Какой результат дает применение FourierTransform к массиву, содержащему только значения 1?

[Babeuf]

Maslov в сообщении #645707 писал(а):

Про Maple не знаю, но в стандартном варианте FFT нулевой коэффициент соответствует нулевой частоте и дает среднее значение сигнала.
Какой результат дает применение FourierTransform к массиву, содержащему только значения 1?

Для массива из 10-ти элементов, каждый из которых равен $1$ результат следующий.
Первый вариант FFT by Brigham's algorithm
Второй - DFT algorithm is simply the $O(N^{2})$

[profrotter]

Babeuf в сообщении #645617 писал(а):

Это не влияет на точность вычислений?

На точность вычислений чего? Если Вы вычисляете дискретный спетктр - то не влияет.

[Babeuf]

profrotter в сообщении #645730 писал(а):

Babeuf в сообщении #645617 писал(а):

Это не влияет на точность вычислений?

На точность вычислений чего? Если Вы вычисляете дискретный спетктр - то не влияет.

На точность вычисления отношения первой ко второй гармонике.

[profrotter]

Babeuf в сообщении #645733 писал(а):

На точность вычисления отношения первой ко второй гармонике.

Ну опять же: если Вы считаете дискретный спектр, то и гармоники понимаются дискретными. Недавно разбирали: сообщение #642857. Там в сообщении я немного ошибся, ниже исправления. Да и всю тему полезно посмотреть.

-- Сб ноя 17, 2012 18:14:16 --

Странное у вас задание. Непонятно что значит "аналитически перевести в массив". Из каких соображений должен выбираться шаг дискретизации? Взять 100 отчётов на периоде? Или на интервале 0...16? Или выбрать интервал дискретизации исходя из теоремы Котельникова, считая спектр сигнала ограниченным? Возомжны и ещё варианты. Непонятно также отношение каких гармоник просят найти? - Непрерывных, то есть гармонических составляющих непрерывной функции или дискретных? Задание надо уточнять.

[Alexandr007]

profrotter в сообщении #645734 писал(а):

Непонятно что значит "аналитически перевести в массив". Из каких соображений должен выбираться шаг дискретизации?

Я думаю шаг дискретизации нужно взять настолько малым, чтобы дальнейшее его уменьшение уже не сказывалось на конечном результате.

profrotter в сообщении #645734 писал(а):

Непонятно также отношение каких гармоник просят найти?

Это серьезный вопрос. С одной стороны аналитическая функция периодическая, с другой задан интервал не кратный периоду, фактически будет подразумеваться что период равен 16, частота первой гармоники $\frac {\pi}{8}$, а функция имеет разрыв в нуле.