Максимальная длина стороны вписанного куба.

[Руст]

Батороев писал(а):

Интересно, а может быть:
$ a(n, k) = \sqrt{\frac{n^k}{k^n}} $?

До $ n = 3 $, вроде, совпадает. Далее - не могу себе представить

Да нет. Неравенство $\sqrt{[\frac nk ]}\le a(n,k)\le \sqrt{\frac nk }$ безупречно получено. К тому же у вас при n>k>2 получается величина меньше 1.
Для a(n,2) в случае нечётного n так же можно доказать, что оценка $a(n,2)\ge \sqrt{\frac n2 -\frac 38}=\sqrt{[\frac n2 ]+\frac 18 }$ точная.

[Батороев]

Руст писал(а):

Батороев писал(а):

Интересно, а может быть:
$ a(n, k) = \sqrt{\frac{n^k}{k^n}} $?

До $ n = 3 $, вроде, совпадает. Далее - не могу себе представить

Да нет. Неравенство $\sqrt{[\frac nk ]}\le a(n,k)\le \sqrt{\frac nk }$ безупречно получено. К тому же у вас при n>k>2 получается величина меньше 1.
Для a(n,2) в случае нечётного n так же можно доказать, что оценка $a(n,2)\ge \sqrt{\frac n2 -\frac 38}=\sqrt{[\frac n2 ]+\frac 18 }$ точная.

Бредовые мысли в защиту бредовой формулы

Руст
Ваши выражения, если я правильно понял, получены, исходя из установки о том, что при увеличении $ n- $мерный куб "захватывает" все большую часть пространства.
Действительно, до $ n = 3 $ это справедливо и с этим не поспоришь.
Но для $ n > 3 $ - это можно лишь предполагать.
Если рассмотреть график функции $ a(n, 1) $, то это кривая с уменьшающимся тангенсом наклона (производной), который в некоторый момент становится меньше 1.
Но что является ее производной?
А вдруг, последующие измерения ведут к "сжатию" пространства?

[Руст]

Если в n мерном единичном кубе вмещается m мерный куб со стороной a(n,m), а в m мерном единичном кубе k мерный куб со стороной a(m,k), то в n меерном единичном кубе вмещается k мерный куб со стороной a(n,m)*a(m,k) (получается масштабированием), следовательно a(n,k)>=a(n,m)*a(m,k) (так как a(n,k) максимальное значение по определению).
Очевидно, что $a(n,1)=\sqrt n$. Подставив в вышеуказанное неравенство k=1 и полученные значения получаем $a(n,m)\le \frac{a(n,1)}{a(m,1)}=\sqrt{\frac nm }.$
Объединяя по [n/m] координат в одну получается нижняя оценка, следовательно всегда имеет место $\sqrt{[\frac nm ]}\le a(n,m)\le \sqrt{\frac nm }.$
Как видите эти оценки получены безупречно и в случае деления n на m нижняя оценка совпадает с верхней. На самом деле легко получается ещё одно неравенство снизу:
$a(n+m)^2\ge a(n,m)^2+1$. На этом основании я выдвигал гипотезу о a(n,2). Однако, возможна и эта гипотеза не точна и является только оценкой снизу.