Гиперболический параболоид

[Limit79]

В одном пособии, канонический вид такой:

$2pz = \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

В другом, вот такой:

$2z = \frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}$


Так все таки какое каноническое уравнение гиперболического параболоида? И какие параметры он имеет?

Спасибо.

[Limit79]

Хотя бы узнать, как эти параметры влияют на график параболоида.

[SpBTimes]

Первый удобнее с точки зрения построения по сечениям. Вспомните, что за кривая задается уравнением $y^2 = 2px$

[Sonic86]

Если во 2-м случае $pq>0$, то эти канонические виды эквивалентны. Просто в 1-м случае уже выделена кое-какая информация (полуоси и фокусное расстояние), поэтому лучше брать 1-й случай.

[Limit79]

Sonic86
Вот в этом и вопрос. У гиперболического параболоида же нет таких понятий, как "фокусное расстояние" и "полуоси", или таки есть?

[Sonic86]

Ну может и нет Их, конечно, можно формально определить из уравнений.
Смысл можно извлекать из метода секущих плоскостей (нам так коники читали): Если фиксируем одну переменную - $y$ или $z$, то геометрически это соответствует параболе с фокусным расстоянием $pb^2$ или $pa^2$. Если фиксировать $z$ будем получать эллипсы с полуосями, пропорциональными $a,b$ и эксцентриситетом, совсем не зависящим от $p,z$.
Просто так ясно, что $a/\sqrt{p},b/\sqrt{p}$ определяют то, насколько гиперболоид сжат к координатным плоскостям.
Можно еще что-то в этом роде надумать.
Или порыться в представлении гиперболического параболоида как огибающей поверхности множества прямых (забыл, как правильно называется).

[Limit79]

Sonic86
Я это нашел, если рассекать параболоид плоскостями, то уже получаются определенные фигуры, с этими параметрами. Мне интересно, как эти параметры называются именно у параболоида. Т.е. что означают $p$ и $q$ именно для параболоида.

-- 14.11.2012, 22:38 --

Задание звучит вот так: "По заданному уравнению определить параметры поверхности второго порядка".

Я привел это уравнение к каноническому виду, но что делать дальше - не пойму.

[SpBTimes]

Limit79
параметров сечений будет достаточно - по ним восстановится и сама ваша поверхность

[Limit79]

SpBTimes
Так а какие параметры будут у сечений?

[Sonic86]

Limit79 в сообщении #644733 писал(а):

Задание звучит вот так: "По заданному уравнению определить параметры поверхности второго порядка".

В смысле вычислить?
В конце концов бывают и безымянные параметры. Можно просто писать $a=\text{тому-то}$.

[Limit79]

Sonic86
Вот в этом и проблема, не понимаю, что они хотят

Я так и сделал, написал $a=...$ и $b=...$, но мало ли...

[SpBTimes]

Limit79
фокусное расстояние