Существование элементов существующего множества

[migmit]

dydx в сообщении #644005 писал(а):

migmit в сообщении #644002 писал(а):

А как может чему-либо принадлежать что-то несуществующее?

Когда есть доказательство, что это что-то не существует.

Ещё раз: "как может чему-либо принадлежать что-то несуществующее".
Переформулирую: если что-то чему-то принадлежит, то оно существует.
Если что-то выкрашено красным, то оно существует.
И так далее.

[dydx]

Еще раз объясняю.

Допустим, $P(b)$ - формула аксиоматической теории множеств. И, допустим, есть формальное доказательство $Pr_1(P)$ высказывания $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$. Возможны три варианта: либо существует формальное доказательство $Pr_2(P)$ высказывания $\neg \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$, либо существует формальное доказательство $Pr_3(P)$ высказывания $\exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$, либо (если только аксиоматическая теория не полна) не существует формального доказательства и высказывания $\neg \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$, и высказывания $\exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$.

Суть этой темы: докажите, что не существуют формулы $P(b)$ аксиоматической теории множеств такой, что существуют формальные доказательства $Pr_1(P)$ и $Pr_2(P)$.

[Someone]

dydx в сообщении #644107 писал(а):

Суть этой темы: докажите, что не существуют формулы $P(b)$ аксиоматической теории множеств такой, что существуют формальные доказательства $Pr_1(P)$ и $Pr_2(P)$.

Если в теории существуют оба указанных Вами доказательства, то теория просто противоречива и не имеет права на существование.

На этом Вашу тему можно спокойно закрыть. И открыть только после того, как Вы предъявите указанное противоречие в ZFC.

Нравится Вам или нет, но существование объектов теории зависит от рассматриваемой модели теории: объект существует, если он является элементом носителя модели теории. Если можно доказать, что определённый некоторым образом объект существует, то он является элементом любой модели теории (предупреждение: это не означает, что во всех моделях это "один и тот же объект"; он только логически один и тот же, поскольку он определён конкретной формулой, доказаны его существование и единственность; так сказать, "физически" в разных моделях это будут разные элементы). Если можно доказать, что определённый некоторым образом объект не существует, то его нет ни в какой модели. Если нельзя доказать ни того, ни другого, то в одних моделях объект будет существовать, в других - нет. Я об этом уже писал, но Вы явно занимаетесь троллингом. Доказательство того, что имеет место оставшийся четвёртый случай, оставим Вам. Тогда будет иметь смысл продолжение дискуссии.

dydx в сообщении #644005 писал(а):

migmit в сообщении #644002 писал(а):

А как может чему-либо принадлежать что-то несуществующее?

Когда есть доказательство, что это что-то не существует. Я не знаю как именно такое может быть и может ли быть вообще, но это ведь еще не доказывает, что такого не может быть в принципе. Можно ли доказать, что такого не может быть в принципе? Тогда бы я хотел посмотреть на доказательство этого.

Если определённый некоторым способом объект доказуемо не существует, то он не может быть элементом никакой модели теории и, следовательно, не принадлежит никакому множеству, существующему в этой модели. По определению модели. В предикаты и функции нельзя подставлять ничего, кроме элементов модели (конечно, речь идёт не о самих предикатах и функциях, а об их интерпретациях в данной модели). Это, естественно, касается и предиката "$\in$". А каждый элемент модели безусловно существует.

[dydx]

Someone в сообщении #644183 писал(а):

Если в теории существуют оба указанных Вами доказательства, то теория просто противоречива

Теория противоречива тогда и только тогда, когда существует высказывание этой теории $\varphi$ такое, что высказывания $\varphi$ и $\neg \varphi$ оба доказуемы. Поэтому, если Вы говорите, что она будет противоречивой, если существует $P(b)$ такое, что существуют $Pr_1(P)$ и $Pr_2(P)$, то докажите существование такого $\varphi$.

[epros]

dydx, не понимаю, что Вы страдаете какой-то ерундой? Известно же, что если взять в качестве $P(b)$ формулу $b \notin b$, то формула $Pr_2$ будет доказуема. Это называется "парадокс Рассела". Именно поэтому схемы аксиом, аналогичной $Pr_3$, в ZFC нет, а схема выделения ограничена дополнительным условием.

[dydx]

epros в сообщении #644348 писал(а):

если взять в качестве $P(b)$ формулу $b \notin b$

То тогда (если под аксиоматической теорией множеств понимать то, что под ней обычно и понимают, т.е. ZFC) не существует формального доказательства $Pr_1(P)$, которое должно быть по условию:

dydx в сообщении #644107 писал(а):

И, допустим, есть формальное доказательство $Pr_1(P)$ высказывания $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$.

-- 14.11.2012, 10:07 --

epros в сообщении #644348 писал(а):

то формула $Pr_2$

$Pr_2$ - это не формула.

epros в сообщении #644348 писал(а):

Именно поэтому схемы аксиом, аналогичной $Pr_3$,

$Pr_3$ - это не схема аксиом.

[epros]

dydx в сообщении #644349 писал(а):

epros в сообщении #644348 писал(а):

если взять в качестве $P(b)$ формулу $b \notin b$

То тогда (если под аксиоматической теорией множеств понимать то, что под ней обычно и понимают, т.е. ZFC) не существует формального доказательства $Pr_1(P)$, которое должно быть по условию:

dydx в сообщении #644107 писал(а):

И, допустим, есть формальное доказательство $Pr_1(P)$ высказывания $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$.

Разумеется, в ZFC формула $\exists y \forall b ~ b \notin b \to b \in y$ опровержима, ибо $b \notin b$ при любом $b$ следует из аксиомы основания, а $\exists y \forall b ~ b \in y$ утверждает существование множества всех множеств, кое опровержимо.

И какая глубокая мысль отсюда следует?

dydx в сообщении #644349 писал(а):

$Pr_2$ - это не формула.
...
$Pr_3$ - это не схема аксиом.

Подумайте ещё раз.

[dydx]

epros в сообщении #644370 писал(а):

И какая глубокая мысль отсюда следует?

(Оффтоп)

xxx: Пусть X такое, что Y. Докажите, что Z.
yyy: Что Вы страдаете какой-то ерундой? Известно же, что если взять A в качестве X, то W.
xxx: Для A не выполняется Y.
yyy: И какая глубокая мысль отсюда следует?

Нельзя брать в качестве $P(b)$ формулу $b \notin b$, потому что она не удовлетворяет условию, что для $P(b)$ должно существовать $Pr_1(P)$.

epros в сообщении #644370 писал(а):

Подумайте ещё раз.

Прочтите еще раз внимательно post644107.html#p644107, и там Вы увидите, что через $Pr_1(P)$ и $Pr_3(P)$ обозначены формальные доказательства. Если Вы считаете, что формальное доказательство - это формула (схема аксиом), то Вам следует почитать определение понятия "формальное доказательство" и убедиться, что это не так.

[master]

dydx в сообщении #644107 писал(а):

Допустим, $P(b)$ - формула аксиоматической теории множеств. И, допустим, есть формальное доказательство $Pr_1(P)$ высказывания $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$. Возможны три варианта: либо существует формальное доказательство $Pr_2(P)$ высказывания $\neg \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$

если я правильно понял
Если у вас игрек есть "полное" множество (максимальной мощности) в некоторой области, и если у вас икс отлично от игрек, то второе выражение есть истина.
но...

[dydx]

Объясняю еще раз и без всяких $Pr_i(P)$.

Суть этой темы: докажите, что в ZFC для любой формулы $P(b)$, если выводимо высказывание $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$, то не выводимо высказывание $\neg \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$.

[migmit]

dydx в сообщении #644381 писал(а):

Объясняю еще раз и без всяких $Pr_i(P)$.

Суть этой темы: докажите, что в ZFC для любой формулы $P(b)$, если выводимо высказывание $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$, то не выводимо высказывание $\neg \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$.

Недоказуемо. Если математика противоречива (а доказать обратное мы не можем), то в ней выводима любая формула.

А вот доказать, что если выводимо $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$, то выводимо и $\exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$ — как два байта переслать. Это следует из выводимости импликации $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y) \to \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$. А она получается просто, достаточно положить $x=\{b \in y | P(b)\}$ и воспользоваться аксиомой выделения.

[master]

правка
Если у вас игрек есть "полное" множество (максимальной мощности) в некоторой области, и если у вас икс отлично от игрек, а бэ не пустое множество мощностью 1 то второе выражение есть истина.

[dydx]

migmit в сообщении #644387 писал(а):

Недоказуемо. Если математика противоречива (а доказать обратное мы не можем), то в ней выводима любая формула.

Я забыл сказать, что мы исходим из предположения, что ZFC не противоречива.

migmit в сообщении #644387 писал(а):

А вот доказать, что если выводимо $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$, то выводимо и $\exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$ — как два байта переслать. Это следует из выводимости импликации $\exists y \forall b (b \in y \to P(b)) \to \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$. А она получается просто, достаточно положить $x=\{b \in y | P(b)\}$ и воспользоваться аксиомой выделения.

Можете выделенное место поподробней расписать?

-- 14.11.2012, 13:49 --

$\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$
Обозначим это множество через $Y$.

По схеме выделения:
$\exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow b \in Y \land P(b))$

Отсюда следует, что $\exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$.

-- 14.11.2012, 14:06 --

Ой! Подождите. Я неправильно написал. Я почему-то от вопроса существования элементов существующего множества перешел к вопросу существования подмножеств существующего множества и сразу не заметил этого. Конечно же я не спорю с тем, что подмножества существующего множества существуют, т.е. это очевидно следует из схемы выделения. Прошу прощенья. Сейчас постараюсь сформулировать все правильно.

Суть темы: докажите, что если ZFC непротиворечива и $P(b)$ ее формула, то, если выводимо высказывание $\exists y \forall z (\forall b (P(b) \leftrightarrow b \in z) \to z \in y)$, то не выводимо высказывание $\neg \exists x \forall b (b \in x \leftrightarrow P(b))$.

[master]

У вас зэд любое, в том числе и икс

-- Ср ноя 14, 2012 17:51:28 --

а во если где то указано что для любых зэд, икс не зэд, то ...

[epros]

dydx, продолжаете какой-то ерундой страдать... Теперь $\exists y \forall b (P(b) \to b \in y)$ почему-то заменилось на $\exists y \forall z (\forall b (P(b) \leftrightarrow b \in z) \to z \in y)$. Это зачем? Чтобы посмотреть что будет, если из объектов со свойством $P$ нельзя собрать множество?

Так посмотрите: Тогда $\forall b (P(b) \leftrightarrow b \in z)$ будет ложным при любом $z$, а значит импликация будет тождественно истинной.

Так что без никаких "если": Высказывание $\exists y \forall z (\forall b (P(b) \leftrightarrow b \in z) \to z \in y)$ выводимо в ZFC при любом $P$.