Условное мат. ожидание

[Mosyamac]

Начну с того, что у меня нет ТеХа , и поэтому формулы попытаюсь не писать, чтобы модератор не удалил мое сообщение. Спасибо!

Начало безобидное. Пусть случайная величина игрек распределена стандартно нормально. Найти математическое ожидание при условии, что этот же игрек больше нуля.
(То есть мы уже знаем, что реализовалось значение с.в. большее нуля. Как найти мат.ожидание этой с.в.?)
В чем затруднение: условие задано НЕравентством и игрек непрерывная случ. величина.
Если бы условие было равенством, то в лоб применялась формула для условного мат.ожидания как интеграла (с условной плотностью)
Если бы игрек был дискретной с.в. тогда сумма с условными вероятностями.


Моя догадка: нужно воспользоваться формулой для условного мат.ожидания, но пределы интегрирования заменить на от НУЛЯ до плюс бесконечности. Функция плотности под интегралом оставить БЕЗусловной и делить на вероятность (а не плотность) того, что игрек больше нуля (в нашем случае это 0,5).

[ShMaxG]

Mosyamac в сообщении #643902 писал(а):

Начну с того, что у меня нет ТеХа

А зачем он нужен? Тут посмотрите как формулы набирать:
http://dxdy.ru/topic8355.html
http://dxdy.ru/topic183.html

Mosyamac в сообщении #643902 писал(а):

в лоб применялась формула для условного мат.ожидания как интеграла

Какая формула?

Mosyamac в сообщении #643902 писал(а):

Моя догадка: нужно воспользоваться формулой для условного мат.ожидания, но пределы интегрирования заменить на от НУЛЯ до плюс бесконечности. Функция плотности под интегралом оставить БЕЗусловной и делить на вероятность (а не плотность) того, что игрек больше нуля (в нашем случае это 0,5).

Ну да.

[Mosyamac]

Спасибо за быстрый ответ.
Формула следующая применяется: $E(X|Y=y_{0}) = \int xf_{X,Y}(x,y_{0})/f_{Y}(y_{0})dx$
Но это для случая, когда условие записано как равенство.
В нашем случае: $E(Y|Y=y_{0}) = \int yf_{Y}(y)/f_{Y}(y_{0})dy$
Совместная ф-ия плотности как бы $Y$ с самим собой $Y$ .



В нашем случае нам нужно найти $E(Y|Y>y_{0}) = ? $
И мой вопрос чему же это равно, если $Y$ распределен стандартно нормально?

Догадка (теперь формулой): $E(Y|Y>y_{0}) = \int yf_{Y}(y)/P(Y>y_{0})dy$ И пределы интегрирования от $y_{0}$ до бесконечности!!!!!

[ShMaxG]

Mosyamac в сообщении #643930 писал(а):

Спасибо за быстрый ответ.
Формула следующая применяется: $E(X|Y=y_{0}) = \int xf_{X,Y}(x,y_{0})/f_{Y}(y_{0})dx$
Но это для случая, когда условие записано как равенство.

Эта формула применяется в случае, когда у Вас задан случайный вектор $(X,Y)$ с абсолютно непрерывным распределением и плотностью $f_{X,Y}(x,y)$. В Вашем же случае задана только одна случайная величина $Y$. И даже, если Вы захотите работать с вектором $(Y,Y)$, то формулой этой воспользоваться не получится, так как такой вектор не является абсолютно непрерывным. Поэтому, как это Вы пишете

Mosyamac в сообщении #643930 писал(а):

В нашем случае: $E(Y|Y=y_{0}) = \int yf_{Y}(y)/f_{Y}(y_{0})dy$
Совместная ф-ия плотности как бы $Y$ с самим собой $Y$ .

Не понятно. Далее,

Mosyamac в сообщении #643930 писал(а):

В нашем случае нам нужно найти $E(Y|Y>y_{0}) = ? $
И мой вопрос чему же это равно, если $Y$ распределен стандартно нормально?

Догадка (теперь формулой): $E(Y|Y>y_{0}) = \int yf_{Y}(y)/P(Y>y_{0})dy$ И пределы интегрирования от $y_{0}$ до бесконечности!!!!!

Тут-то все верно, но чтобы убедиться в этом, Вы должны выяснить, как у вас определяется условное относительно некоторого множества математическое ожидание.

[Mosyamac]

Спасибо большое ShMaxG!
Можно вопрос: надеюсь не очень глупый)

В каком смысле нужно определить относительно чего матожидание? Нужно найти мат.ожидание $Y$ при условии $Y>y_{0}$
Про $E(Y|Y=y_{0})$ согласен, глупость написал, никакой формулы там "Y с самим собой" , ведь это же сразу: $E(Y|Y=y_{0})=y_{0}$

В сухом остатке: правильно ли пользоваться формулой ,которую я написал в догадке?

Спасибо еще раз!

[ShMaxG]

Ну, например, в книжке Боровкова по теории вероятностей сказано следующее. Пусть $\[\left\langle {\Omega ,\Sigma ,{\mathbf{P}}} \right\rangle \]$ -- вероятностное пространство, на котором определена сл.в. $\[\xi \]$, пусть дан элемент сигма-алгебры $\[B \in \Sigma \]$ с ненулевой мерой. Пусть условное вероятностное пространство $\[\left\langle {\Omega ,\Sigma ,{{\mathbf{P}}_B}} \right\rangle \]$. Тогда условным относительно $B$ математическим ожиданием случайной величины $\xi$ называется

$$\[{\mathbf{E}}\left( {\xi |B} \right) = \int\limits_\Omega {\xi \left( \omega \right){{\mathbf{P}}_B}\left( {d\omega } \right)} = \int\limits_\Omega {\xi \left( \omega \right){\mathbf{P}}\left( {d\omega |B} \right)} = \int\limits_\Omega {\xi \left( \omega \right)\frac{{{\mathbf{P}}\left( {d\omega \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}} = \frac{1}{{P\left( B \right)}}\int\limits_B {\xi \left( \omega \right){\mathbf{P}}\left( {d\omega } \right)} \]$$

Но если Вы не знакомы с интегралами по мере, то формула выше в терминах плотности вероятности (для абсолютно непрерывной случайной величины) запишется так:

$$\[{\mathbf{E}}\left( {\xi |B} \right) = \int\limits_\mathbb{R} {xf\left( {x|B} \right)} dx = \frac{1}{{{\mathbf{P}}\left( B \right)}}\int\limits_B {xf\left( x \right)dx} \]$$

так как если плотность $\[f\left( x \right)\]$ соответствует функции распределения $F(x)$, то условная плотность $\[f\left( {x|B} \right) = \frac{{f\left( x \right)I\left( {x \in B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\]$ соответствует условной функции распределения $\[F\left( {x|B} \right)\]$. Здесь под $B$ понимается борелевское множество с ненулевой мерой, а $I$ -- индикатор соответствующего множества. Понятно, какие буквы соответствуют каким Вашим?

[Mosyamac]

Спасибо, что составили труд прописать определение так подробно!
К сожалению, теорией меры владею не в достаточной степени.
Но все равно прояснилось.

В моем случае элемент сигма алгебры $B$ - это подмножество $\mathbb R$ : $[y_{0}; \mathcal {1})$
Мера этого элемента - собственно след. вероятность: $P(Y>y_{0})$

$f(x)$ - плотность в моем случае стандартного нормального, то есть $f_{Y}(y)$

Верно?
Тогда, действительно формула в догадке правильная.

[ShMaxG]

Да. Ну и обратите внимание на то, как и почему условная плотность выражается через обычную.