Лагранж используется при построении многих сплайнов
Интерполяционный многочлен Лагранжа используется при численной оценке производной функции по её дискретным значениям. А уж для чего будут использованы полученные оценки - зависит от конкретной решаемой задачи. Так что сплайны - сплайнами, производные - производными.
И ещё один интересный факт - синк с окном Гаусса является (чем бы вы думали?) - именно Лагранжем
Что-нибудь по существу написать можете? Я, например, вот тут
topic58649.html разбирался - разбирался с чем-то похожим.
А студентам надо расширять кругозор. Надо пояснить им, что кроме МНК существует много других методов, которые предполагают цифровую обработку исходных данных. Выделение тренда, например, может быть реализовано путём цифровой фильтрации. Полагаю алгоритм скользящего среднего (moving average) экономистам известен. Разница с тем же МНК очевидна: в случае МНК требуется подобрать удачную математическую модель и из заданных требований определить её свободные параметры. При выделении тренда путём фильтрации математической моделью тренда является интерполирующая функция, построенная по результатам фильтрации. В некоторых случаях такой подход может оказаться более универсальным. Смотрим пример:
Исходные данные:
Импульсная характеристика цифрового фильтра:
Частотная характеристика цифрового фильтра:
Тренд - результат фильтрации:
Все вместе (исходные данные, тренд, центрированные данные) после интерполяции сплайном второй степени гладкости (правда я использую исключительно локальные сплайны):
Что касается прогнозирования, то уместно будет вспомнить о нейронных сетях, которые позволяют получить прогноз в виде дискретных значений тренда или самого процесса. Непрерывное прогнозирование тренда может быть достигнуто путём интерполяции.
Но следует отметить особо, что во всех случаях, когда имеется большое количество узлов интерполяции, глобальная интерполяция является вычислительно неэффективной.