2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полные аналитические функции (sin(sqrt(z))
Сообщение04.05.2007, 15:13 


24/09/06
26
Здравствуйте! Хотелось бы услышать ваши замечания насчет построения полной аналитической функции (=ПАФ) $\sin \sqrt{z}$.
Короче, нам надо для любого пути $\gamma: [0, 1]\to \mathbb{C}$ (если это возможно) в точке $\gamma(t), \t \in (0, 1)$ построить канонический элемент $\mathcal{F}_t=(U(\gamma(t), R_t), f_t)$.
Возьмем начальный элемент $$\mathcal{F}_0=(U(1, 1), f_0)$$, $f_0(z) = \sin\substack{\sqrt{z} \\ (-\pi, \pi)}$.
Так как производная $f_0'(z)=\frac{\cos \sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \infty\ \ (z\to 0)$, то наша путь не может проходить через 0.
Если считать, что мы построили ПАФ $\sqrt{z}$, т.е. для нашего пути $\gamma$ в каждой точке $t$ мы знаем канонический элемент $\mathcal{G}_t=(U(\gamma(t), R_t'), f'_t)$.

Следует ли отсюда, что $\mathcal{F}_t=(U(\gamma(t), R_t), f_t)$ выражается через $\mathcal{G}_t=(U(\gamma(t), R_t'), f'_t)$ таким образом:
$R_t=R_t'=|\gamma(t)|$, $f_t=\sin f_t'$?

Извиняюсь за очень громоздкие обозначения, но для точности формулировок они нужны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Этот аргумент:
Tuzembobel писал(а):
Так как производная $f_0'(z)=\frac{\cos \sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \infty\ \ (z\to 0)$, то наша путь не может проходить через 0.
и вот это равенство:
Tuzembobel писал(а):
$R_t=R_t'=|\gamma(t)|$
вызывают вопросы, а остальные соображения верны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 19:05 


24/09/06
26
Brukvalub писал(а):
Этот аргумент:
Tuzembobel писал(а):
Так как производная $f_0'(z)=\frac{\cos \sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \infty\ \ (z\to 0)$, то наша путь не может проходить через 0.
и вот это равенство:
Tuzembobel писал(а):
$R_t=R_t'=|\gamma(t)|$
вызывают вопросы, а остальные соображения верны.

Попробую исправить: пусть наш пусть $\gamma$ проходит через 0, т.е. существует $t_0$ т,ч. $\gamma(t_0)=0$.
Теперь вспомним введённые $f_t'$ (где штрих не обозначает производную): так как $(f_{t_0}')^2=t$. То дифференцируя получаем, что $(f_{t_0}')'=\frac{1}{2f_{t_0}'}$.
И так как $f_{t_0}=\sin f_{t_0}'$, то
$$
(f_{t_0})' =\mbox{\ теперь штрих обозначает производную\ }= (f_{t_0}')'(\cos f_{t_0}')=\frac{\cos f_{t_0}'}{2f_{t_0}'} \to \infty\ \ (z\to \gamma(t))
$$
Короче говоря, $f_{t_0}$ имеет неограниченную производную если $\gamma(t_0)=0$.

А при $z\neq 0$, если взять путь, который проходит через точку $z$ (если $\gamma (t_0)=z$), то $f_{t_0}$ голоморфна в точкe $z$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Вопрос, а при построении полной аналитической функции (=ПАФ) для $\ \sqrt{z}$ путь $\gamma$ может проходить через 0? Если не может, то почему?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 19:43 


24/09/06
26
Для ПАФ $\sqrt{z}$ путь $\gamma$ не может проходить через 0.
Все так же как и моим постом выше:
Допустим, что прошел и $\gamma(t_0)=0$ при некотором $t_0$, пусть $\mathcal{G}_{t_0}=(U(\gamma(t_0), R'_{t_0}), f'_{t_0})$ - канонический элемент. Тогда $(f'_{t_0})^2 = t_0$, дифференцируя получаем: $f'_{t_0}(z)=\frac{1}{2f_{t_0}(z)}$.
Так как для квадратного корня $|f'_t(z)|=\sqrt{|z|}$ при любом $t$, то получаем, что $|f'_{t_0}(z)|\to \infty\ \ (z\to \gamma(t_0))$, потому что $\gamma(t_0)=0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 19:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 20:16 


24/09/06
26
Кстати, что получится, если вместо синуса подставить косинус?
Ведь тогда в нуле исчезнеть особенность, так как
$$
(\cos\sqrt{z})' = -\frac{\sin\sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to -\frac{1}{2}\ \ (z\to 0)
$$
Тогда у любого канонического элемента $\mathcal{F}_t$ будет бесконечный радиус?

Да, забыл добавить минус.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
$\cos\sqrt z~-$ целая функция (регулярная во всей комплексной плоскости).

Добавлено спустя 19 минут 25 секунд:

Tuzembobel писал(а):
Ведь тогда в нуле исчезнеть особенность, так как
$$
(\cos\sqrt{z})' = \frac{\sin\sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \frac{1}{2}\ \ (z\to 0)
$$

Это не аргумент для отсутствия особенности (тем более что производная посчитана неверно). Ведь
$$(\cos\sqrt z+z\sqrt z)'\to-1/2 \ \ (z\to0),$$
однако же в нуле особенность.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2007, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Потому что не всякое необходимое условие является достаточным :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group