Полные аналитические функции (sin(sqrt(z))

[Tuzembobel]

Здравствуйте! Хотелось бы услышать ваши замечания насчет построения полной аналитической функции (=ПАФ) $\sin \sqrt{z}$.
Короче, нам надо для любого пути $\gamma: [0, 1]\to \mathbb{C}$ (если это возможно) в точке $\gamma(t), \t \in (0, 1)$ построить канонический элемент $\mathcal{F}_t=(U(\gamma(t), R_t), f_t)$.
Возьмем начальный элемент

$$\mathcal{F}_0=(U(1, 1), f_0)$$

, $f_0(z) = \sin\substack{\sqrt{z} \\ (-\pi, \pi)}$.
Так как производная $f_0'(z)=\frac{\cos \sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \infty\ \ (z\to 0)$, то наша путь не может проходить через 0.
Если считать, что мы построили ПАФ $\sqrt{z}$, т.е. для нашего пути $\gamma$ в каждой точке $t$ мы знаем канонический элемент $\mathcal{G}_t=(U(\gamma(t), R_t'), f'_t)$.

Следует ли отсюда, что $\mathcal{F}_t=(U(\gamma(t), R_t), f_t)$ выражается через $\mathcal{G}_t=(U(\gamma(t), R_t'), f'_t)$ таким образом:
$R_t=R_t'=|\gamma(t)|$, $f_t=\sin f_t'$?

Извиняюсь за очень громоздкие обозначения, но для точности формулировок они нужны.

[Brukvalub]

Этот аргумент:

Tuzembobel писал(а):

Так как производная $f_0'(z)=\frac{\cos \sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \infty\ \ (z\to 0)$, то наша путь не может проходить через 0.

и вот это равенство:

Tuzembobel писал(а):

$R_t=R_t'=|\gamma(t)|$

вызывают вопросы, а остальные соображения верны.

[Tuzembobel]

Brukvalub писал(а):

Этот аргумент:

Tuzembobel писал(а):

Так как производная $f_0'(z)=\frac{\cos \sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \infty\ \ (z\to 0)$, то наша путь не может проходить через 0.

и вот это равенство:

Tuzembobel писал(а):

$R_t=R_t'=|\gamma(t)|$

вызывают вопросы, а остальные соображения верны.

Попробую исправить: пусть наш пусть $\gamma$ проходит через 0, т.е. существует $t_0$ т,ч. $\gamma(t_0)=0$.
Теперь вспомним введённые $f_t'$ (где штрих не обозначает производную): так как $(f_{t_0}')^2=t$. То дифференцируя получаем, что $(f_{t_0}')'=\frac{1}{2f_{t_0}'}$.
И так как $f_{t_0}=\sin f_{t_0}'$, то

$$ (f_{t_0})' =\mbox{\ теперь штрих обозначает производную\ }= (f_{t_0}')'(\cos f_{t_0}')=\frac{\cos f_{t_0}'}{2f_{t_0}'} \to \infty\ \ (z\to \gamma(t)) $$

Короче говоря, $f_{t_0}$ имеет неограниченную производную если $\gamma(t_0)=0$.

А при $z\neq 0$, если взять путь, который проходит через точку $z$ (если $\gamma (t_0)=z$), то $f_{t_0}$ голоморфна в точкe $z$.

[Brukvalub]

Вопрос, а при построении полной аналитической функции (=ПАФ) для $\ \sqrt{z}$ путь $\gamma$ может проходить через 0? Если не может, то почему?

[Tuzembobel]

Для ПАФ $\sqrt{z}$ путь $\gamma$ не может проходить через 0.
Все так же как и моим постом выше:
Допустим, что прошел и $\gamma(t_0)=0$ при некотором $t_0$, пусть $\mathcal{G}_{t_0}=(U(\gamma(t_0), R'_{t_0}), f'_{t_0})$ - канонический элемент. Тогда $(f'_{t_0})^2 = t_0$, дифференцируя получаем: $f'_{t_0}(z)=\frac{1}{2f_{t_0}(z)}$.
Так как для квадратного корня $|f'_t(z)|=\sqrt{|z|}$ при любом $t$, то получаем, что $|f'_{t_0}(z)|\to \infty\ \ (z\to \gamma(t_0))$, потому что $\gamma(t_0)=0$.

[Brukvalub]

Верно.

[Tuzembobel]

Кстати, что получится, если вместо синуса подставить косинус?
Ведь тогда в нуле исчезнеть особенность, так как

$$ (\cos\sqrt{z})' = -\frac{\sin\sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to -\frac{1}{2}\ \ (z\to 0) $$

Тогда у любого канонического элемента $\mathcal{F}_t$ будет бесконечный радиус?

Да, забыл добавить минус.

[RIP]

$\cos\sqrt z~-$ целая функция (регулярная во всей комплексной плоскости).

Добавлено спустя 19 минут 25 секунд:

Tuzembobel писал(а):

Ведь тогда в нуле исчезнеть особенность, так как

$$ (\cos\sqrt{z})' = \frac{\sin\sqrt{z}}{2\sqrt{z}}\to \frac{1}{2}\ \ (z\to 0) $$

Это не аргумент для отсутствия особенности (тем более что производная посчитана неверно). Ведь

$$(\cos\sqrt z+z\sqrt z)'\to-1/2 \ \ (z\to0),$$

однако же в нуле особенность.

[Brukvalub]

Потому что не всякое необходимое условие является достаточным