Несколько задач

[khaoel]

1) Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на $\mathbb{R}$, причём для всех $x \in \mathbb{R}$, выполняется неравенство:
$|f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)|\leqslant 1$
Найти $\lim \limits_{x \to \infty } f(x)$.

2)Пусть $f(x) \in C^1[0; 2)$ и $f'(x)\geqslant 0$ для любого $x \in [0; 2)$. Доказать, что для любого $n \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство:
$\int \limits _1 ^{\frac{2}{n+1}} f(x) dx+\int \limits _1 ^{\frac{4}{n+1}} f(x) dx+\int \limits _1 ^{\frac{6}{n+1}} f(x) dx+ \ldots +\int \limits _1 ^{\frac{2n}{n+1}} f(x) dx \geqslant 0$.

3) Пусть f(x) - многочлен степени n и $P(x)=f(x)+\frac{f'(x)}{2}+ \ldots +\frac{f^{(n)}(x)}{2^n}$. Доказать, что если все корни P(x) вещественные, то и все корни f(x) тоже вещественные.

[Dandan]

khaoel писал(а):

3) Пусть f(x) - многочлен степени n и $P(x)=f(x)+\frac{f'(x)}{2}+ \ldots +\frac{f^{(n)}(x)}{2^n}$. Доказать, что если все корни P(x) вещественные, то и все корни f(x) тоже вещественные.

Несложно получить, что $f(x)=P(x)-\frac 1 2 P'(x)$. Из этой темы мы знаем такое

Цитата:

6. Все корни многочлена $P(x)$ действительные. Доказать, что для каждого $\lambda\in\mathbb{R}$ все корни многочлена $P(x)+\lambda P'(x)$ также действительные.

Собственно, все

Добавлено спустя 29 минут 45 секунд:

khaoel писал(а):

2)Пусть $f(x) \in C^1[0; 2)$ и $f'(x)\geqslant 0$ для любого $x \in [0; 2)$. Доказать, что для любого $n \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство:
$\int \limits _1 ^{\frac{2}{n+1}} f(x) dx+\int \limits _1 ^{\frac{4}{n+1}} f(x) dx+\int \limits _1 ^{\frac{6}{n+1}} f(x) dx+ \ldots +\int \limits _1 ^{\frac{2n}{n+1}} f(x) dx \geqslant 0$.

Пусть $F(x)=\int \limits _0 ^x f(t) dt$ (т.е. первообразная к f). Тогда то выражение равно

$$\sum_{i=1}^n F(\frac {2i} {n+1}) - nF(1)$$

. Поскольку $F''(x)\geqslant 0$, то можно применить неравенство Йенсена :

$$\sum_{i=1}^n F(\frac {2i} {n+1}) - nF(1) \geqslant n F({\frac 1 n} \sum_{i=1}^n {\frac {2i} {n+1}}) - nF(1) = nF(1) - nF(1) = 0$$

[neo66]

khaoel писал(а):

2)Пусть $f(x) \in C^1[0; 2)$ и $f'(x)\geqslant 0$ для любого $x \in [0; 2)$. Доказать, что для любого $n \in \mathbb{N}$ справедливо неравенство:
$\int \limits _1 ^{\frac{2}{n+1}} f(x) dx+\int \limits _1 ^{\frac{4}{n+1}} f(x) dx+\int \limits _1 ^{\frac{6}{n+1}} f(x) dx+ \ldots +\int \limits _1 ^{\frac{2n}{n+1}} f(x) dx \geqslant 0$.

Разобьем нашу сумму на слагаемые по 2, равноотстоящие от "краев":
$\int \limits _1 ^{\frac{2}{n+1}} f(x) dx + \int \limits _1 ^{\frac{2n}{n+1}} f(x) dx$
$\int \limits _1 ^{\frac{4}{n+1}} f(x) dx + \int \limits _1 ^{\frac{2n-2}{n+1}} f(x) dx$
$\dots$ и т.д.
Это можно сделать и для четных $n$ и для нечетных $n=2k+1$, поскольку средний член равен $\int \limits _1 ^{\frac{2(k+1)}{n+1}} f(x) dx = 0$
Каждая такая сумма неотрицательна, поскольку $f(x)$ неубывает и интервал интегрирования имеет одну и ту же длину. Например:
$\int \limits _1 ^{\frac{2}{n+1}} f(x) dx + \int \limits _1 ^{\frac{2n}{n+1}} f(x) dx = - \int \limits _{\frac{2}{n+1}}^1 f(x) dx + \int \limits _1 ^{\frac{2n}{n+1}} f(x) dx \geq 0$

[Руст]

khaoel писал(а):

1) Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на $\mathbb{R}$, причём для всех $x \in \mathbb{R}$, выполняется неравенство:
$|f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)|\leqslant 1$
Найти $\lim \limits_{x \to \infty } f(x)$.

Рассмотрим дифференциальное уравнение
$f''(x)+2xf'(x)+(x^2+1)f(x)=s(x), \ |s(x)|\le 1.$
Решение ищем в виде $f(x)=exp(-\frac{x^2}{2})u(x).$ Тогда уравнение записывается в виде:
$u''(x)=exp(\frac{x^2}{2})s(x)$, т.е. решение представляется в виде:

$$f(x)=(f'(0)x+f(0))exp(-\frac{x^2}{2})+exp(-\frac{x^2}{2})\int_0^x\int_0^yexp(\frac{t^2}{2})s(t)dtdy.$$

Как видно f(x) cтремится к нулю. Можно даже сказать как $\frac{const}{x^2+1}$.
Точнее $\lim_{x\to \infty } (x^2+1)|f(x)|\le 1.$
Правда здесь предел может не существовать и надо понимать как ограничение.

[khaoel]

Большое спасибо всем откликнувшимся. Если не надоел, позвольте ещё парочку задач:

1) Пусть 3x3 матрицы A и B таковы, что $A=A^T$, $B=B^T$, $a_{11}>0$, $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}>0$, $det A >0$, $b_{11}>0$, $b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12}>0$, $det B >0$.
Доказать, что $\sum \limits_{i=1}^3 \sum \limits_{j=1}^3$ a_{ij}b_{ji}>0.

2) Функция f(x) такова, что выполняется условие $\int \limits_0 ^ {\infty} (a(f(x))^2+ (f'(x))^2)dx$=1. Найти максимально возможное значение f(0) в зависимости от a(a > 0).

[neo66]

khaoel писал(а):

1) Пусть 3x3 матрицы A и B таковы, что $A=A^T$, $B=B^T$, $a_{11}>0$, $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}>0$, $det A >0$, $b_{11}>0$, $b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12}>0$, $det B >0$.
Доказать, что $\sum \limits_{i=1}^3 \sum \limits_{j=1}^3$ a_{ij}b_{ji}>0.

Задачу можно переформулировать так:
Симметрические матрицы $A$ и $B$ положительно определены. Доказать, что след $sp(AB)>0$.
Док-во.Так как $sp$ не зависит от базиса, достаточно доказать его положительность в каком-нибудь удобном базисе. Существует базис в котором $A$ - диагональна, причем $a_{ii}>0$. Поскольку $B$ положительно определена(это тоже не зависит от базиса) , то $b_{ii}>0$. Значит $sp(AB)=a_{11}b_{11}+\dots + a_{nn}b_{nn}>0$

По-моему верно более сильное
Утверждение: Произведение положительно определенных матриц $A$ и $B$ положительно определено.

Или не верно?

[RIP]

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}>0;$$

$$B=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}>0,$$

однако лично у меня рука не поднимется назвать матрицу

$$AB=\begin{pmatrix}-1&3\\-3&8\end{pmatrix}$$

положительной.

[Руст]

khaoel писал(а):

Большое спасибо всем откликнувшимся. Если не надоел, позвольте ещё парочку задач:

1) Пусть 3x3 матрицы A и B таковы, что $A=A^T$, $B=B^T$, $a_{11}>0$, $a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}>0$, $det A >0$, $b_{11}>0$, $b_{11}b_{22}-b_{21}b_{12}>0$, $det B >0$.
Доказать, что $\sum \limits_{i=1}^3 \sum \limits_{j=1}^3$ a_{ij}b_{ji}>0.

2) Функция f(x) такова, что выполняется условие $\int \limits_0 ^ {\infty} (a(f(x))^2+ (f'(x))^2)dx$=1. Найти максимально возможное значение f(0) в зависимости от a(a > 0).

Как показал RIP более сильное утверждение неверно.
2) Так же простая задача. Во первых
$1=\int_0^{\infty}(af^2(x)+f'^2(x))dx \ge \sqrt a \int_0^{\infty}|(f^2(x))'|dx\ge \sqrt a f(0)^2$
т.е. $f(0)\le a^{-1/4}$. C другой стороны, взяв $f(x)=a^{-1/4}exp(-\sqrt a x)$ получаем точное равенство.

[RIP]

khaoel писал(а):

2) Функция f(x) такова, что выполняется условие $\int \limits_0 ^ {\infty} (a(f(x))^2+ (f'(x))^2)dx$=1. Найти максимально возможное значение f(0) в зависимости от a(a > 0).

$f^2(A)-f^2(0)=2\int_0^Af(x)f'(x)\,dx$. Выражение справа имеет предел при $A\to+\infty$ (интеграл сходится абсолютно), поэтому существует $\lim\limits_{A\to+\infty}f^2(A)$, который равен нулю, поскольку $\int_0^\infty f^2(x)\,dx<\infty$. Значит, $2\int_0^\infty f(x)f'(x)\,dx=-f^2(0)$. Поэтому

$$1-\sqrt af^2(0)=\int_0^\infty(\sqrt a f(x)+f'(x))^2dx\geqslant0.$$

Поэтому $f(0)\leqslant\frac1{\sqrt[4]a}$, причём равенство достигается для $f(x)=\frac1{\sqrt[4]a}e^{-\sqrt ax}$.

[neo66]

RIP писал(а):

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}>0;$$

$$B=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&5\end{pmatrix}>0,$$

однако лично у меня рука не поднимется назвать матрицу

$$AB=\begin{pmatrix}-1&3\\-3&8\end{pmatrix}$$

положительной.

У меня тоже . Спасибо! Тогда слегка ослабим:
1) Произведение положительных коммутирующих матриц положительно.
2) Собственные числа произведения положительных матриц положительны.

[Руст]

Первое утверждение очевидно верно для коммутирующих симметричных матриц.
Думаю для второго найдётся контрпример ,без условия коммутирования, только с n>2. Мне лень искать, возможно пример найдётся уже при n=3.

[neo66]

Не ищите! Не найдется .

[RIP]

neo66 писал(а):

2) Собственные числа произведения положительных матриц положительны.

Для симметрических матриц это верно. Пусть $A=A^T>0$, $B=B^T>0$, $B=F^2$, $F=F^T>0$. Собственные числа оператора $C=AB~-$ корни уравнения $\det(AB-\lambda E)=0\quad\Leftrightarrow\quad\det(FAF-\lambda E)=0$. При этом $FAF~-$ симметрическая положительная матрица.