Элементы и классы (Вольфенгаген)

[Mysterious Light]

Вольфенгаген «Методы и средства вычислений с объектами», часть 1 (Формализм) главы 2 (Классы) и 3 (Отношения). Перепишу некоторые основные утверждения в общепринятой записи.
Как я понял, мы постулируем существование некоторых сущностей, которые носят атомарный характер, т.е. едины и неделимы, вещь в себе. Далее мы вводим понятие класса как новой сущности. Семантика вводится через содержание связки $\in$. Так, $x\in y$, где $y$ класс, мыслится так: $x$ есть элемент класса $y$. Если $y$ не является классом, то $x\in y$ означает $x\equiv y$.
Далее вводим понятие абстракции: это не есть имя собственно конкретного класса, но выражение $\hat x.\phi[x]$ может использовать и слева, и справа, что позволяет возвести эту конструкцию на один уровень с классами, то есть использовать её всюду как класс (просто в смысле равенства (2), опр. ниже), как это делается, например, в (3). Более точно,

$$y\in \hat x.\phi[x] \; := \; \exists z. (y\in z \wedge \forall x. (x\in z \Rightarrow \phi[x])) \eqno (1)$$

(Оффтоп)

не могу понять, почему стрелка стоит только в одну сторону в этом определении. Хотя это может быть связанно собственно с моим вопросом.

$$x=y \; := \; \forall z. (z \in x \Leftrightarrow z\in y) \eqno (2)$$

$$\hat x.\phi \in z \; := \; \exists y. (y=\hat x.\phi \wedge y \in z) \eqno (3)$$

Универсум и постое множество вводятся следующими формулами:

$$V \; := \; \hat x. (x=x)$$$$\varnothing \; := \; \hat x. (x\neq x)$$

$$y\cup z \; := \; \hat x. (x\in y \vee x \in z)$$

Единица: $\{z\} \; := \; \hat x.(x=z)$.
Парование: $[x,y] \; := \; \{\{x\}\} \cup \{\{x\} \cup \{y\}\}$

Далее говорится: вне зависимо от того, являются ли $x$ или $y$ элементами (вообще), т.е. справедливо ли $x,y\in V$ или нет, пара $[x,y] \in V$.
Можете мне объяснить то шаманство с понятием "элемента" и принципиальной возможности какой-то сущности $x$ не принадлежать уневерсуму $V$? Совсем этот момент непонятный.

[arseniiv]

Mysterious Light в сообщении #643326 писал(а):

Если $y$ не является классом, то $x\in y$ означает $x\equiv y$.

Так и пишет? Странно…

[Mysterious Light]

Ну это его прихоть. Нужно для того, чтобы особо не разделять поведение "атомарных" объектов и классов относительно $\in$. Например, равенство определяется корректно в смысле (2) как для классов, так и для не-классов.
Вопрос в том, что такое "элемент" или, по-другому, что за такие звери эти странные "не-элементы" $x$, которые $x\not\in V$

[arseniiv]

Если перевести это на язык, который обычно используется в теории множеств, то элемент — это множество, а класс так классом и останется. Есть классы как являющиеся, так и не являющиеся множествами — вторые называются собственно классами и в некоторые аксиоматики (например, ZFC) как рассматриваемые объекты не входят. Собственно классы отличаются от множеств не только тем, что они не могут входить в $V$ (это класс, содержащий все множества) — они ему равномощны (это доказывается; равномощность классов можно ввести, т. к. можно определить их декартово произведение, а дальше функцию из класса в класс).

Mysterious Light в сообщении #643326 писал(а):

Далее говорится: вне зависимо от того, являются ли $x$ или $y$ элементами (вообще), т.е. справедливо ли $x,y\in V$ или нет, пара $[x,y] \in V$.

Тоже странно. В теории множеств не все классы в пары собирать можно (из-за ограничений выше — не существует $\{x\}$, если $x\notin V$). Даже если ухитриться (называть упорядоченной парой собственно классов функцию, которая сопоставляет элементам первого $\varnothing$, элементам второго $\{\varnothing\}$, а элементам обоих $\{\{\varnothing\}\}$ (по идее, должна сгодиться), то она будет собственно классом, а множеством не станет.

Надеюсь, к противоречивости это не приводит — иначе все построения зря.

Хотел найти книгу в интернете, чтобы разобраться — не получилось.

-- Пн ноя 12, 2012 06:18:48 --

В общем, подождём кого-нибудь сведущего.

[Mysterious Light]

Я больше ждал ответа того, что читал эту книгу.
Но ради Вас я приведу рассуждения автора. Я на всякий случай буду использовать те же обозначения, что и в прошлом посте.

Определение. Класс упорядоченных пар обозначается [x,y], а его члены обладают свойствами:
(1) упорядоченные пары являются элементами
(2) элементы внутри пары не коммутируют.
Таким образом, записываем [формула из первого поста].
Не трудно убедиться, что

$$\forall x,y,z. z\in [x,y] \Leftrightarrow (z=\{x\})\vee(z=\{x\}\cup\{y\})$$

Члены $\{x\}$ и $\{x\}\cup\{y\}$ являются в свою очередь классами, чьими единственными элементами являются соответственно $x$ и ($x$ и $y$), в том случае, если $x$ и $y$ элементы.

Напомню, $x$ элемент т.и т.т. $x\in V$.

Упражнение 3.1. Покажите, что первое из требований определения удовлетворяется вне зависимости от того, является ли $x$ и $y$ элементами или нет:

$$\forall x,y. [x,y]\in V$$

Упражнение 3.2. Покажите, что второе из требований определения означает, что пары [x,y] и [z,w] всегда различны, за исключением того случая, когда [...] совпадают соответственно:

$$\forall w,x,y,z. x,y,w\in V \; \Rightarrow \; ([x,y]=[z,w] \Leftrightarrow (x=z)\wedge (y=w))$$

Далее идёт указание в целом понятное, кроме строки

$$x\in V \wedge [x,y]=[z,w] \Rightarrow x=z$$

Посмотрите это:
http://smotr.im/8Xz2
http://smotr.im/8Xz3
http://smotr.im/8Xz4
P.S. надеюсь, Вы поймёте авторские обозначения, потому что для меня они были немного диковатыми.

[arseniiv]

Можно заключить, что пара из классов тоже будет элементом, если $\{x\}\equiv\iota x$ будет элементом для любого $x$. Как автор определяет $\iota$? Видимо, там разгадка того, как классы превращать в элементы.

Но, конечно, определение $V$, а вы спрашивали в первом сообщении, как в нём может чего-то не быть, странновато. В NBG классы и множества никогда не спутываются (синтактически обозначаясь буквами разного регистра, и там представление классом $A$ множества $a$ записывается как $\forall x.x\in a \Leftrightarrow x\in A$), и потому точно такое же синтаксически, как у автора, определение для $V$ понятно что определяет. А тут не совсем понятно. У автора есть какой-нибудь предикат для различения классов и множеств, если они входят в одну группу термов? Если их не различать, в $V$, конечно, попадут все классы, и сам $V$ тоже, что явно не входило в планы автора, если смотреть на приведённые вами фрагменты.

[Mysterious Light]

На данном этапе я пытаюсь понять позицию автора. И, насколько мне это удалось, он не видит необходимости вводить понятие множества, а все скользкие места разрешаются каким-то собственным механизмом. Например, как Вы сказали, абстракция может быть не по всем сущностям, а лишь по допустимым.

Единица определяется следующим образом: $\iota x \Leftrightarrow \hat z. (z = x)$. Последнее утверждение можно развернуть так: $\hat z. (\forall y. (y\in z \equiv y\in x))$. Обозначения авторские.

Вообще, я могу подкинуть ещё ряд вопросов, которые являются близкими по смыслу:
1. Верно ли, что $\forall z. (\hat x. x\in z = z)$? По-моему, верно: $\forall z,y: \;\;\; y\in \hat x.(x\in z) \; \equiv \; \exists t. y\in t \wedge (\forall x\in t. x\in z) \; \equiv \; y\in z \wedge (\forall x\in z. x\in z)$, но в последнем переходе не уверен.
2. Из упражнение: $x\in y \equiv x\in V \wedge \iota x \subset y$. Доказательство тривиальное кроме места, где вылезает условие $x\in V$. Я его не могу найти.
3. Возможно ли существование $y=\iota x$, если $x\not\in V$?

[Mysterious Light]

Мне кажется, что $\iota x = \Lambda = \hat y. (y\neq y)$, если $x\neq V$, потому что $\forall y\in V. \; \left( (y\in \iota x) \equiv (y=x) \right)$, поэтому $\forall y. y\not\in V$. Но в правильности этих рассуждений я не уверен.
Если это так, то есть если $\iota x$ пусто при $x\not\in V$, то $\iota x \cup \iota y = \iota y$. Хотелось бы понимать авторскую позицию касаемо этого вопроса, потому что в разделе отношений он не раз ссылается на эти непонятные суждения.

[arseniiv]

(Кстати, я неверно написал, что в теориях множеств с классами обязательно отдельно переменные как для множеств, так и для классов. Можно обойтись одними классами; класс $a$ является множеством, если $\exists b.a\in b$.)

Скорее всего, под элементами тут понимаются не множества, а «первичные элементы», не являющиеся классами. (А до меня сразу не дошло. Возможно, из-за неполной информации о книге. Точнее, я о них вначале подумал, но по какой-то причине передумал, и зря. Многое становится логичным.) Тогда $V$ не должно быть классом всех элементов (автор прямо об этом писал?), а классом множеств и элементов. Пара тогда принадлежит $V$, если её компоненты в $V$ — они не обязательно получаются элементами, но собственно классами быть не могут, ну и всё в порядке. Тогда:

Mysterious Light в сообщении #643466 писал(а):

2. Из упражнение: $x\in y \equiv x\in V \wedge \iota x \subset y$. Доказательство тривиальное кроме места, где вылезает условие $x\in V$. Я его не могу найти.

Доказывали $x\in V \equiv \exists t.x\in t$? Кажется, поможет.

Mysterious Light в сообщении #643466 писал(а):

3. Возможно ли существование $y=\iota x$, если $x\not\in V$?

Нет.

[Mysterious Light]

Вы здесь не правы.
Элемент по определению есть объект $x$, который $x\in V$. В этом смысле, как я понял, элемент-не-элемент и класс-не-класс — совершенно независимые классификации.
Кроме того, если для $x\not\in V$ не существует $y: \; y=\iota x$, то и пары $[x,z]$ не может быть также.

В общем, я не понимаю изуминку во взгляде автора на понятия, им используемые. Сам я примерно понимаю позицию NGB, из которой Вы исходите в первых сообщениях, как бы подгоняя её к написанному.
Печально, что Вы не можете найти книгу. В интернете не искал, просто на руках оказалась случайно.
Поэтому я ещё выложу несколько страниц:
http://smotr.im/8Z0N
http://smotr.im/8Z0P
http://smotr.im/8Z0R

Upd
перечитал все посты и хочу дополнить: мы не можем рассуждать в терминах функций, потому что функции ещё не определены. Там-то этот момент с элементами вылезает постоянно, но как нечто вторичное. Примерно как понятие области определения: вроде без неё функция не функция, но все особо не беспокоятся о ней. Так, там вводится понятие бинарного отношения вводится как $z(y,x) \Leftrightarrow y,x\in V \wedge [y,x]\in z$, а бинарная абстракция $\hat x\hat y.\phi \Leftrightarrow \hat z.\exists x,y. (x,y\in V \wedge z=[x,y] \wedge \phi)$. Кроме того, вводится компонента отношения $\dot z \Leftrightarrow \hat x\hat y.z(x,y)$, которое отличается от $z$ тем, что выражает отношение только между элементами. Кроме того, $\dot z=z$ iff $z$ является отношением в выше указанном смысле, то есть не содержит пар не-элементов. Так как-то, вроде.

[arseniiv]

Mysterious Light в сообщении #643766 писал(а):

Элемент по определению есть объект $x$, который $x\in V$

Но ведь $V$ определяется позже соглашения о смысле $c\in a$, когда $a$ — элемент? Или нет?

[Mysterious Light]

Нет. Сначала вводится абстракция и даётся определение $c\in \hat x.\phi[x]$, потом $V=\hat x.(x=x)$, а только потом понятие элемента $x\in V$.
Насколько мне известно, в NGB понятие элемента и класса не имеют определения через другие, более примитивные понятия.

[arseniiv]

А где описывается

Mysterious Light в сообщении #643326 писал(а):

Если $y$ не является классом, то $x\in y$ означает $x\equiv y$.

?

-- Ср ноя 14, 2012 00:30:58 --

В общем, я вряд ли смогу помочь, ибо запутался.

[Mysterious Light]

arseniiv в сообщении #644216 писал(а):

В общем, я вряд ли смогу помочь, ибо запутался.

Я это ожидал. Просто я думал, что кто-то из ЗУ читал эту книгу или примерно примерно представляет позицию Вольфенгагена.

arseniiv в сообщении #644216 писал(а):

А где описывается?

Из книги:
В том случае, если $y$ является классом, то запись $`x\in y'$ означает, что $x$ является его членом. Возникает вопрос, каков смысл этой записи, если y не является классом. При построении теории обычно остаются степени свободы для дополнительной интерпретации символа $`\in'$. Наиболее простым является принятие общего принципа, который заключается в следующем:

$$\textrm{если $y$ не является классом, то запись `$x\in y$' означает, что `$x=y$'}$$

От себя: здесь $x=y$ употребляется в значении $x\equiv y$, потому что дальше вводится формальный символ $=$, содержание которого я приводил ранее.

[Mysterious Light]

Появились новые соображения по этой теме.
Так получилось, что пост оказался слишком длинным, потому что я попытался как можно подробнее изложить свои мысли по этому вопросу. Внизу есть краткий свод тезисов и вопросов.

(spoiler: рассуждения)

Теория строится на том основании, что существуют некоторые объекты, которые мы называем классами, и другие объекты, не-классы. Они существуют онтологически, по бытию.
Из книги: «нет других абстрактных объектов, кроме классов, то есть нет ни отношений, ни функций, ни чисел, если только они не конструируются в виде классов. Кроме конкретных объектов нужно распознавать только те классы, которые содержат эти объекты в качестве своих членов, затем классы, члены которой из совокупности и так далее. [...] Остаётся неясным, какие объекты считать конкретными.»
Как видно, утверждается существование «конкретных объектов», которые не являются классами. Любой другой объект по построению теории должен быть классом, который за конечное число шагов "вглубь", должен состоять из этих объектов.

В качестве смыслового инструмента мы выбираем символ $\in$. Задать объект, как я понял, значит задать его поведение относительно этого символа слева и справа. Как демонстрация, автор сразу придаёт смысл записи «$x\in y$», если $y$ не является классом, то есть является конкретным объектом. Будучи конкретным объектом, $y$ обозначает себя, поэтому естественно наделить запись «$x\in y$» смыслом «$x$ это $y$». Напомню, никакого равенства у нас ещё нет (только равенство формул, поскольку логика первого порядка считается развернутой), а конкретный объект мы можем отличить по бытию от любого другого объекта, конкретного или не очень.

Далее, мы говорим, что такой приём позволяет определить понятия равенства: $x=y \; \Leftrightarrow \; \forall z. ((z\in x)\equiv(z\in y))$. Это определение оказывается полезным в дальнейших рассуждениях, когда вместо $x$ и $y$ мы будем подставлять абстракции. Кроме того, именно этот приём позволяет нам средствами теории определить, является ли данная нам сущность $y$ классом или нет: $\forall x. (x\in y)\equiv (x=y)$.

Далее, мы говорим об абстрации феноменологически, формально ограничиваясь лишь тем, что абстракцию $\hat x.\phi$ можно так записать. Это не класс, то есть это лишь запись, которая не обязательно соответствует некоторому классу, но мы её всюду будем использовать как класс, и потому мы наделим через $\in$ эту запись соответствующем ему содержанием. Мы пишем:

$$y\in \hat x.\phi \;\Leftrightarrow\; \exists z. ((y\in z) \;\wedge\;\forall x. (x\in z \Rightarrow \phi))$$

Я в первом посте спрашивал, почему стрелка в одну сторону. С точки зрения метатеории, $z$, существование которого мы утверждаем в записи $y\in\hat x.\phi$, достаточно быть подмножеством $\hat x.\phi$. Иными словами, в качестве $z$ рассматривается некоторый класс (или объект) некоторых иксов, удовлетворяющим $\phi$, среди которых есть $y$. Мы не утверждаем, что существует класс $w=\hat x.\phi$. Если он существует, то уже в рамках теории мы можем утверждать, что любой класс $z$, который может использоваться в определении, будет подмножеством $w$. А если не существует, то мы можем по-прежнему оперировать этой записью.
То обстоятельство, что $z$ не едино для всех $y$, может привести нас к некоторым нетривиальным выводам. Например, $V=\hat x.(x=x)$ как класс содержит все конкретные объекты и все множества (как в NGB), но мы тогда допускаем существование какой-то абстракции, которая не будет элементом $V$. Подробней об этом написано ниже.

Далее, мы даём следующее определение:

$$\hat x.\phi\in z \;\Leftrightarrow\; \exists y.(y=\hat x.\phi \wedge y\in z)$$

Как видно, абстракция может быть элементом другого класса или абстракции только в том случае, если существует класс, который эту абстракцию выражает.
Другое замечание: что может быть связано кванторами? Только объекты, то есть конкретные объекты и классы. Абстракция не может быть связана.

Единичный класс мы определяем так: $\iota z \;\Leftrightarrow\; \hat x.x=z$.
Если все предшествующие рассуждения справедливы, то

$$\forall x,y.\; y\in \iota x \; \equiv \; x\in V \wedge x=y$$

Это утверждение есть в книге.
Тут сразу возникает вопрос: если мы не можем связывать кванторами не-объекты, то как может в этой формуле $x\not\in V$?
В случае, когда $y\not\in V$, суждение $z\in y$ всегда ложно, поэтому $y=\Lambda$, поэтому выражение $\iota z=\iota\Lambda$. Напомню, $\Lambda=\hat x.(x\neq x)$.

Если кратко:
1. мы вводим абстракции, мысля их как классы, но они могут быть гораздо шире классов, посему не всегда они бывают элементами универсума. Тем не менее, описав поведение абстракций вообще относительно « $\in$ », мы придали содержание « $=$ » и « $\iota$ » по отношению к абстракциям.
Правильна ли эта позиция?
2. Что мы можем связывать кванторами всеобщности и существования? Только буквы, соотв. объектам или ТМ-абстракции также?
3. Если рассуждения верны, то $\forall x\forall y.\; y\in \iota x \; \equiv \; x\in V \wedge x=y$. Верно ли, что $\iota x=\iota\Lambda$ при $x\not\in V$? Почему $\forall x\forall y.\; x\in \iota y \; \equiv \; y\in \iota x$? Можно ли из $x=y$ и $x\in V$ заключить, что $y\in V$? Последнее мне кажется сомнительным.