Ур-ние Шредингера: несвязанное состояние в дельта-яме

[Munin]

fizeg в сообщении #643345 писал(а):

Если вы относитесь религиозно-мистически к нормировке ненормируемой волновой функции, имеющей в общем-то техническое значение, то я вам ничем помочь не могу.

Скорей, человеку надо какой-то конкретный технический коэффициент посчитать, и он его только через нормированные в. ф. умеет выразить. Пусть, скажем, нормирует на поток.

[Physman]

ChaosProcess в сообщении #643355 писал(а):

Вот особенно не люблю, когда кто-то при вычислении интегралов с комплексными экспонентами добавляет действительную, зависящую от параметра, считает интеграл и устремляет параметр в 0.

Это ваши проблемы. Вы знаете, что есть такое понятие "функция Грина"? Там без этого приёма никуда. И вообще, вещь полезная, как и многие другие. Умные люди (когда-то) сидели и думали над задачами, предлагали решения, и главное, работает! А вы, видите ли, не любите...

[fizeg]

ChaosProcess

ChaosProcess в сообщении #643355 писал(а):

Вот как это соотносится с:
fizeg в сообщении #641625 писал(а):
У меня получается $\pi\Bigl(b_{k_1}b_{k_2}+\frac{a_{k_1}a_{k_2}}{2}+\frac{c_{k_1}c_{k_2}}{2}\Bigr)\Bigl(\delta(k_1+k_2)+\delta(k_1-k_2)\Bigr)$
непонятно.

Т.е. увидеть, что будет в случае
$\pi\Bigl(b_k^2+\frac{a_k^2+c_k^2}{2}\Bigr)=1,\quad \pi\Bigl(b_kb_{-k}+\frac{a_ka_{-k}+c_kc_{-k}}{2}\Bigr)=0$
вы не можете?

ChaosProcess в сообщении #643355 писал(а):

Вот я тоже не понимаю.

Вы с обобщенными функциями знакомы? Мою формулу для скалярного произведения $<\psi_k|\psi_{k_1}>$ получить способны?

ChaosProcess в сообщении #643355 писал(а):

В данном случае нормировочный коэффициент прямо влияет на 2 поправку. В этом и проблема.

Ну ёлы-палы, сколько мне говорить, что в данном случае нормировочный коэффициент целиком и полностью определяется потребностями задачи! Что не отменяет возможности ввести ортонормированный набор, не сильно волнуясь о конкретной регуляризации.

ChaosProcess в сообщении #643355 писал(а):

Вот особенно не люблю, когда кто-то при вычислении интегралов с комплексными экспонентами добавляет действительную, зависящую от параметра, считает интеграл и устремляет параметр в 0.

А ничего, что сам по себе он не особо осмысленнен и этим вы фактически его определяете?

ChaosProcess в сообщении #643355 писал(а):

Нет, я никто

Я подумал, что вы математик, потому что вы поставили приоритет математической строгости перед физически осмысленным доопределением задачи. Даже если получится, что такой переход окажется несовместим с обычными формулами, мы должны предпочесть именно его, чтобы наша модель отвечала реальности.

-- 12.11.2012, 02:26 --

Munin

Munin в сообщении #643356 писал(а):

Скорей, человеку надо какой-то конкретный технический коэффициент посчитать, и он его только через нормированные в. ф. умеет выразить. Пусть, скажем, нормирует на поток.

Мне кажется более вероятным, что топикстартер просто тренируется в решении задач, а нормировать ему нужно из принципа

[quantum newbie]

Как ТС я ещё раз подчеркну необходимость определить волновую функцию абсолютно, то есть в виде $\psi(x)=f(x,k,\alpha)$, без явного вхождения какого-либо другого параметра. И я не требую нормировку из своей прихоти. Просто я не понимаю, откуда можно получить ещё одно уравнение, которое бы позволило исключить абсолютно весь произвол, абсолютно все лишние параметры. Исходно задача была найти поправку к энергии в связанном состоянии при слабом возмущении. Это конкретное число, зависящее только от $\alpha$. Формула, от которой я отталкиваюсь, базируется на сумме/интеграле по $k$ некоторого выражения, содержащее $<\psi_0|V|\psi_k>$, где каждая волновая функция зависит только от $\alpha$ и $k$. Других параметров здесь нет.
Если бы, предположим, волновыми функциями были $e^{ikx}$, то есть разница между тем, суммирую я $|<\psi|V|e^{ikx}>|^2$ (c=1) или $|<\psi|V|2e^{ikx}>|^2$ (c=2). Ответ будет отличаться в четыре раза. Это абсурд. Вы говорите, условие нормировки определяется задачей. Вот конретная задача, какая здесь должна быть нормировка?

Все остальные замечания касаются несовершенства моего знания матаппарата, поэтому конкретно на них я отвечу после некоторых размышлений.

[saygogoplz]

Не понимаю, почему Вас не устраивает нормировка на конечный объем $L$, это стандартный прием основанный на дискретизации непрерывного спектра. Да, действительно, если мы загоним частицу в ящик размера $L$ мы получим квантование частицы, но мы скажем, что ящик достаточно большой и расстояния между соседними уровнями малы, поэтому можно считать спектр непрерывным... А при переходе $L\to\infty$ как раз и получится нормировка на $\delta$-функцию. Вас могут смутить слова достаточно большой и расстояния уровней малы, мы просто можем подобрать это $L$, чтобы дискретность не влияла на чистоту эксперимента: простой пример: есть у нас прибор, меряет он энергию с погрешностью в $10^{-3}$ единиц энергии, так возьмем и подберем $L$ так, чтобы расстояния между уровнями были не больше $10^{-4}$... Еще пример, касающийся вашей задачи, допустим Вы попросите для эксперимента у самого Дирака его функцию и ОН вам ее одолжит, но никто не обеспечит Вам $\pm\infty$ ни Ландау, ни ... кто-либо другой . И гнаться за какой-то мат строгостью иногда невыгодно. Мы все таки живем в реальном мире.

И еще, как нутром чувствовал, еще когда писал про импульсное представление, что автор решает вовсе другую задачу, а эта задача вылезла как вспомогательная. В итоге он сам сознался Вы лучше приведите точную формулировку исходной задачи. Может Вы там какие-то переходы осуществляете неверно, чем-то пренебрегаете не так... И мы Вам быстро и эффективно поможем. Думаю пора заканчивать весь этот флуд

[quantum newbie]

Насколько я себе это представляю, при конечных $L$ волновые функции возможны только четные, то есть будет 1 в.ф. на 1 значение $k$. Для бесконечной задачи, как мы выяснили, каждому $k$ соответсвуют по крайней мере 2 неколлинеарные в.ф., то есть собственные подпространства будут двумерными. Как может предельный переход устранить это различие? Это мой повод не доверять этому методу.


Гнаться за строгостью я буду ровно в той мере, в которой мне достаточно, чтоб понять, принять и поверить в решение.

По поводу исходной задачи, которую уже формулировал: найти поправку к энергии связанного состояния в дельта-яме при некотором малом возмущении (например, $e\mathscr{E}\hat x$). В первом посте я её не формулировал, чтобы не искушать отвечать не на заданный вопрос.

Кстати, вопрос об импульсном представлении открыт. Я по-прежнему не знаю, как разрешить уравнение там. Но к исходной задаче это относится слабо.

P.S. а я-то как буду рад, когда закончится флуд и кто-то мне доступно объяснит, в чём подвох и как следует рассуждать.

[fizeg]

quantum newbie

quantum newbie в сообщении #643390 писал(а):

Насколько я себе это представляю, при конечных $L$ волновые функции возможны только четные

Слушайте, с какого потолка вы это взяли? Вы хоть пытались эти волновые функции найти?

-- 12.11.2012, 07:23 --

Вроде при той же коробочной регуляризации не должно возникнуть никаких сюрпризов и нормировать надо как я предлагал, т.е. считайте через Фурье
$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k_1}^\ast\psi_{k_2} dx=\delta(k_1-k_2)$

Если что, вам нужно для теории возмущений разложение единицы (условие полноты)
$\sum_{n}|E_n><E_n|=1$
Кажется здесь (с учетом того, что вы считаете возмущение связанного состояния, а следовательно убывающей волновой функции) ничего нетривиального вылезти не может.

-- 12.11.2012, 07:40 --

И в этом случае вторая поправка к энергии выглядит как
$\int_{-\infty}^{+\infty}dk<\psi_k|V|\psi^{(0)}>/(E^{(0)}-E_k)$

или (если вы считаете $k\geq 0$ и берете два набора, ортогональных друг другу)
$\int_0^{+\infty}dk\Bigl(<\psi_k|V|\psi^{(0)}>+<\tilde{\psi}_k|V|\psi^{(0)}>\Bigr)/(E^{(0)}-E_k)$

[ChaosProcess]

Physman в сообщении #643363 писал(а):

Это ваши проблемы. Вы знаете, что есть такое понятие "функция Грина"? Там без этого приёма никуда. И вообще, вещь полезная, как и многие другие. Умные люди (когда-то) сидели и думали над задачами, предлагали решения, и главное, работает!

В смысле, резольвента? Это там, где для подсчета интеграла в комплексной плоскости сдвигают границу так, чтобы нужные особые точки попали, а ненужные нет? Уличная магия, непонятно, почему работающая.

fizeg в сообщении #643365 писал(а):

Т.е. увидеть, что будет в случае $\pi\Bigl(b_k^2+\frac{a_k^2+c_k^2}{2}\Bigr)=1,\quad \pi\Bigl(b_kb_{-k}+\frac{a_ka_{-k}+c_kc_{-k}}{2}\Bigr)=0$
вы не можете?

Ах вот что вы имеете ввиду. Ну так пишите понятнее, убрать дельту полностью в моем понимании можно только занулением коэффициента перед ней.

fizeg в сообщении #643365 писал(а):

А ничего, что сам по себе он не особо осмысленнен и этим вы фактически его определяете?

А ничего, что он не определен? Если экспонента с параметром, то интеграл можно будет мыслить как дельту, потому что она хорошо согласуется с интегралом Фурье. Во всех остальных случаях про интеграл ничего нельзя сказать.

fizeg в сообщении #643365 писал(а):

Я подумал, что вы математик, потому что вы поставили приоритет математической строгости перед физически осмысленным доопределением задачи. Даже если получится, что такой переход окажется несовместим с обычными формулами, мы должны предпочесть именно его, чтобы наша модель отвечала реальности.

Мне кажется, некорректно работать с такой задачей в физике. У нее могут быть при разных подходах разные решения. А разные подходы будут из-за того, что нет строгого, четкого решения.

quantum newbie в сообщении #643390 писал(а):

при конечных волновые функции возможны только четные

Нечетные, потому что либо синус, либо косинус и сигнум-синус. Вторые не занулятся на краях.

saygogoplz в сообщении #643387 писал(а):

И еще, как нутром чувствовал, еще когда писал про импульсное представление

А мне вот интересно, как бы вы там решали интегральное уравнение?

[Physman]

ChaosProcess в сообщении #643500 писал(а):

Мне кажется, некорректно работать с такой задачей в физике.

По поводу реалистичности задачи. На самом деле, в реальной ситуации, есть образец. Его границы можно считать бесконечными потенциальными стенками. И тогда мы моментально уходим от проблем с нормировками. quantum newbie, такая задача, опять таки, рассмотрена в теперь уже любимом вами Галицком :) Кстати, если уж быть совсем реалистичными, не забудьте, что есть ещё диэлектрическая проницаемость среды, не равная 1 в материале. Поэтому, в задаче будут разные $k$ в разных областях.

ChaosProcess в сообщении #643500 писал(а):

Уличная магия, непонятно, почему работающая.

Не "уличная магия", а модель. Возможно, не полностью строгая и математически обоснованная, но дающая возможность получить полезные результаты. Так что, пока вы альтернативу не предложите, извольте уважать.

Munin в сообщении #643356 писал(а):

Пусть, скажем, нормирует на поток.

Munin, было бы интересно узнать, что именно Вы под этим подразумеваете (формульно)?

P.S. Господа, для угловых скобочек можно использовать не "<, >", а команды "\langle, \rangle". Ну красивее же получается!

[saygogoplz]

ой беда с ChaosProcess и квантовым нубом:
итак задачу вы исходную сформулировали, на стационарную теорию возмущений, как Вам уже сказали откройте любимого/прилюбимого ГАЛИЦКОГО часть 1, задача 8.12 стр. 198 и может, хотя я не уверен, будет Вам счастье. У меня это Галицкий 3-е издание 2001 года.

[ChaosProcess]

saygogoplz в сообщении #643549 писал(а):

ой беда с ChaosProcess и квантовым нубом:
итак задачу вы исходную сформулировали, на стационарную теорию возмущений, как Вам уже сказали откройте любимого/прилюбимого ГАЛИЦКОГО часть 1, задача 8.12 стр. 198 и может, хотя я не уверен, будет Вам счастье. У меня это Галицкий 3-е издание 2001 года.

Галицкий всю интригу запорол, как обычно Взял и заявил, что синус Скукота...

[g______d]

В принципе, можно все сделать честно. Самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения на независимую переменную. В данном случае в пространстве $L_2(\mathbb R_{+};\mathbb C^2)$ (я для простоты предполагаю, что связанных состояний нет). Унитарную эквивалентность осуществляет (простите за тавтологию) некоторый унитарный оператор, существование которого --- некоторая общая теорема.

Для (достаточно широкого класса) обыкновенных дифференциальных операторов этот унитарный оператор --- интегральный оператор с ядром, состоящим из двух решений спектрального уравнения. Т. е.

$$ (Uf)_{\pm}(k)=\int\limits_{\mathbb R}\psi_{\pm}(k,x)f(x)\,dx, $$

где $\psi_{\pm}(k,x)$ --- решения с некоторой асимптотикой на бесконечности (кажется, у одного из них должно быть $e^{-ikx}$ на $-\infty$, а у другого $e^{ikx}$ на $+\infty$). Возможно, где-то еще $2\pi$ должно быть. Я могу найти ссылки на литературу, но, к сожалению, я не знаю достаточно современных текстов (что печально, т. к. проблема явного построения спектрального разложения в многомерном случае сейчас довольно интересна).

Собственно, с преобразованием Фурье на $\mathbb R$ та же история. Можно обойтись без разговоров про $\delta$-функции. Надо просто доказать, что интегральный оператор с ядром $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}$ сохраняет $L_2$-норму на плотном множестве функций (например, на классе гладких быстро убывающих функций). А потом сказать, что $L_2$-преобразование Фурье --- это этот оператор, продолженный по непрерывности.

Т. е. вместо непонятной "нормировки обобщенных собственных функций на $\delta$-функцию" можно составить из них интегральный оператор и доказывать его унитарность.

[Munin]

Physman в сообщении #643528 писал(а):

Munin, было бы интересно узнать, что именно Вы под этим подразумеваете (формульно)?

Ну, после выяснившихся обстоятельств это малость неактуально, но речь шла о том, что падающей волне (смотря откуда она падает, например, справа $e^{ikx}$ на $x\to+\infty,$ а слева $e^{-ikx}$ на $x\to-\infty$) присваивается множитель такой, чтобы плотность потока была равна единице. То есть, множитель $m/\hbar k.$ При этом произносятся какие-то рукомахательные объяснения, что если мы рассматриваем падающий поток частиц некоторой плотности, то за единицу времени должна упасть и рассеяться обратно одна частица.

ChaosProcess в сообщении #643500 писал(а):

Уличная магия, непонятно, почему работающая.

Это жалко, что вам непонятно, почему. Во многих местах приводятся объяснения. В Мессиа, кажется, неплохо рассказано. Суть в том, что если этого не делать, то функция Грина оказывается неединственной, то есть годится любая из линейных комбинаций некоторого базиса. От этой неединственности и избавляются, делая выбор, соответствующий типичным физическим задачам. Если очень хочется, можно эту неединственность удерживать до последнего, то есть выписать всё решение в многовариантном виде, и тогда к математике не будет никаких претензий, а потом уже делать выбор, исходя из условий физической задачи. Но выбор всегда приходится делать один и тот же, и поэтому его делают заранее, и всё.

[ChaosProcess]

Munin в сообщении #643589 писал(а):

Во многих местах приводятся объяснения. В Мессиа, кажется, неплохо рассказано.

Хе, я их не видел никогда. А в Мессиа хорошо написано.

[Munin]

ChaosProcess в сообщении #643677 писал(а):

Хе, я их не видел никогда.

Да в общем, можно и самому восстановить логику. Если пошагово идти по математическому рецепту, и на каждом шагу думать, а что это получилось физически.