Уравнение в целых числах

[analitik777]

вот как решить такое уравнение в целых числах???

$2(a^2+b^2)=c^2+d^2$

На компьютере решал, корни есть, а вот в виде формулы записать не получается. Вообще, можно ли в виде формулы записать решение? Какую литературу можно почитать, чтобы такое решить?

[Sonic86]

Начните с $(1\pm i)(a+bi)=c+di$

[maxal]

Легко понять, какие числа представляются левой частью, а какие - правой. Ну и взять их пересечение.

[analitik777]

maxal в сообщении #641415 писал(а):

Легко понять, какие числа представляются левой частью, а какие - правой. Ну и взять их пересечение.

А можно немного поподробней :)

[ИСН]

Ну какие целые числа можно представить суммой двух квадратов, знаете?

[analitik777]

ИСН в сообщении #641432 писал(а):

Ну какие целые числа можно представить суммой двух квадратов, знаете?

Число должно иметь хотя бы один простой делитель вида $4t+1$?

[ИСН]

Нет. (2=1+1.) Оно, наоборот, должно не содержать простых вида $4t+3$ в нечётных степенях.

[matidiot]

Это была первая моя олимпиадная задача в 7 классе: $2a^2+2b^2=(a+b)^2+(a-b)^2$

[ИСН]

У числа $2(a^2+b^2)$ могут быть другие представления суммой квадратов, помимо этого. Если не стоит цель отыскать их все, то можно и так, да.

[victor.l]

По поводу формулы.Ваш пример частный случай тождества

$$(a^2+tb^2)(c^2+td^2)=(ac+tbd)^2+t(ad-cb)^2=(ac-tbd)^2+t(ad+cb)^2$$

[pppppppo_98]

ИСН в сообщении #641505 писал(а):

У числа $2(a^2+b^2)$ могут быть другие представления суммой квадратов, помимо этого. Если не стоит цель отыскать их все, то можно и так, да.

А если подобное представление не единственно, то задача сводится к не решаемой аналитически в общем случае - к банальному перебору

-- Вс ноя 11, 2012 13:09:35 --

Топикстартеру читать например тут http://kvant.mccme.ru/pdf/1999/03/kv0399senderov.pdf