Гомеоморфизм, компактификации

[xmaister]

Пусть $X,Y$- хаусдорфовы пространства и $(X_1,f_1),(Y_1,f_2)$- их компактификации. Если $X_1$ и $X_2$ гомеоморфны, то можно ли гомеоморфизм $\varphi:X\to Y$ продолжить до гомеоморфизма $X_1$ и $X_2$?

[Someone]

Нельзя. Возьмите $X=Y=(0;1)$ и рассмотрите на плоскости графики функций $f_1(x)=\sin\frac 1x$ и $f_2(x)=\sin\frac 1{1-x}$. Их замыкания дают компактификации интервала $(0;1)$, которые гомеоморфны, но тождественный гомеоморфизм интервала не продолжается до гомеоморфизма компактификаций.