Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?

[Oleg Zubelevich]

Профессор Снэйп в сообщении #603590 писал(а):

Вот, например, утверждение: каждое решение диффура $y'' + y = 0$ периодично (ну или хотя бы ограничено). Можно это доказать, не переходя к степенным рядам и не используя синусы с косинусами?

Синусы с косинусами через это уравнение можно ввести.
Ограниченность следует сразу из интеграла энергии: $(y')^2+y^2=1$. Отсюда же
$\int_0^y\frac{ds}{\sqrt{1-s^2}}=t,\quad |y|\le 1$ Интеграл в этой формуле можно взять за определение $\arcsin y$. Как клеить решение дальше -- понятно

[Профессор Снэйп]

Xaositect в сообщении #603610 писал(а):

Или это считается использованием синусов и косинусов?

Нет, не считается. Конечно так можно.

-- Вт авг 07, 2012 07:17:17 --

Oleg Zubelevich в сообщении #603612 писал(а):

Ограниченность следует сразу из интеграла энергии: $(y')^2+y^2=1$.

Что сумма равна константе - вижу почему, надо продифференцировать сумму и посмотреть на исходное уравнение. А почему эта константа равна $1$?

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603656 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #603612 писал(а):

Ограниченность следует сразу из интеграла энергии: $(y')^2+y^2=1$.

Что сумма равна константе - вижу почему, надо продифференцировать сумму и посмотреть на исходное уравнение. А почему эта константа равна $1$?

Профессор Снэйп в сообщении #603575 писал(а):

$y'' + y = 0$ и $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$.

[Профессор Снэйп]

А, ну я подумал, что это для произвольного $y$, являющегося решением $y'' + y = 0$, константа единична.

Пока ехал сегодня в маршрутке, доказал периодичность и всё такое...

[Alex_J]

Почему бы тогда уж не взять многоугольник и не устремить к бесконечности число сторон? Вот вам и пи с длиной окружности. )))
Причем есть два варианта - когда радиус равен расстоянию от центра многоугольника до вершины, и от центра до середины стороны. Либо растянуть многоугольник изнутри на предельную окружность, либо стянуть снаружи, обхватить так сказать.

[Ktina]

Alex_J в сообщении #642398 писал(а):

Почему бы тогда уж не взять многоугольник и не устремить к бесконечности число сторон? Вот вам и пи с длиной окружности. )))
Причем есть два варианта - когда радиус равен расстоянию от центра многоугольника до вершины, и от центра до середины стороны. Либо растянуть многоугольник изнутри на предельную окружность, либо стянуть снаружи, обхватить так сказать.

Вроде, Архимед именно так и доказывал.

[Профессор Снэйп]

Alex_J в сообщении #642398 писал(а):

Почему бы тогда уж не взять многоугольник и не устремить к бесконечности число сторон? Вот вам и пи с длиной окружности. )))
Причем есть два варианта - когда радиус равен расстоянию от центра многоугольника до вершины, и от центра до середины стороны. Либо растянуть многоугольник изнутри на предельную окружность, либо стянуть снаружи, обхватить так сказать.

Если принять постулат о том, что среди всех гладких линий, соединяющих две точки, отрезок есть линия кратчайшей длины, то в варианте, когда радиус равен расстоянию от центра до вершины, периметр многоугольника, очевидно, оценивает длину окружности снизу. А вот почему в другом упомянутом варианте (радиус есть расстояние от центра до середины стороны) периметр многоугольника является оценкой сверху? С ходу что-то непонятно...

[ivanhabalin]

Профессор Снэйп
Поясние мне, ( мухи отдельно, котлеты отдельно) соизмеримого отрезка, вроде нет?
Просто хочу понять, математика - одно, а природная реальность другое?

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #642461 писал(а):

А вот почему в другом упомянутом варианте (радиус есть расстояние от центра до середины стороны) периметр многоугольника является оценкой сверху? С ходу что-то непонятно...

Если принять, что площадь круга равна произведению ее периметра на радиус, то это следует из сравнения площадей.