Еще один ряд

[oleg-oleg]

Исследовать на сходимость ряд

$\displaystyle\sum_{n=3}^\infty\dfrac{1}{n\cdot \ln^p n\cdot (\ln \ln n )^q}$

Есть идея воспользоваться интегральным признаком сравнения

$\displaystyle\int_{1}^\infty\dfrac{dx}{x\cdot \ln^p x\cdot (\ln \ln x )^q}$

Можно сделать замену $t=\ln x$

$\displaystyle\int_{\ln 3}^\infty\dfrac{dt}{t^p\cdot (\ln t)^q}$

Когда $p=1$ мне вся понятно.

Рассмотрим случай $p\ne 1$, сделаем замену $y=\ln t;\;\;\;\;dy=\dfrac{dt}{t}$

$\displaystyle\int_{\ln\ln 3}^\infty\dfrac{dy}{e^{y(p-1)}\cdot y^q}$

Вроде как этот ряд сходится при любых $q$ , лишь бы было $p>1$, да?

[ИСН]

Да. Замена даже не очень-то нужна. Кроме критического случая, двойной логарифм можно тупо выкинуть.

[Whitaker]

Можете рассмотреть случай $p>1$ и для него еще три подслучая $q=0, q>0, q<0.$
Случай $q=0$ очевидный, а именно сходится при $p>1$.
Случай $q>0$ такой:
$\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^p (\ln t)^q}\leqslant \int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^p (\ln \ln 3)^q}=\dfrac{1}{(\ln \ln 3)^q}\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^p}$, а последний интеграл сходится при $p>1$.
Случай $q<0$ ($q=-r$ и $r>0$) почти аналогичен:
$\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^p (\ln t)^q}=\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{(\ln t)^r}{t^p (\ln t)^q}dt<\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{t^{\varepsilon}}{t^p}dt=\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}t^{\varepsilon-p}dt$
эпсилон можно взять таким, что (например $\varepsilon<p-1$) и тогда интеграл будет сходиться.
Вывод таков для этого случая: интеграл сходится при $p>1$ и для любого $q$.

Случай $p<1$ аналогичен.

[dmitriy11]

буквально вчера делал нечто похожее.

Сходимость (а точнее расходимость) рядов $\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\dfrac{1}{n\cdot \ln n\cdot }$ и $\displaystyle\sum_{n=3}^\infty\dfrac{1}{n\cdot \ln \ln n }$ я доказывал с помощью такого факта, что ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}$. Про этот факт можно глянуть в Зориче, либо в учебнике Шилова.

Может быть, Вам это поможет.

[ИСН]

[venco]

dmitriy11 в сообщении #642277 писал(а):

я доказывал с помощью такого факта, что ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a^n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na^n$

$a=\frac23$, первый ряд сходится, а второй - нет.
Или вы что-то другое имели в виду?

[dmitriy11]

я извиняюсь, верхний индекс с нижним перепутал.
подправил в исходном сообщении
Cash в следующем посте напишет то, что я имел ввиду

[Cash]

Может имеется в виду, что для монотонной последовательности $a_n$ ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд \displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2^na_{2^n}$ ?

[venco]

Так лучше, причём монотонность существенна. dmitriy11, не забывайте!

[oleg-oleg]

Whitaker в сообщении #642267 писал(а):

$\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^p (\ln t)^q}=\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{(\ln t)^r}{t^p (\ln t)^q}dt$

Спасибо, но вот это что-то не догнал...

[ИСН]

Если на клетке слона видишь надпись "буйвол", что надо делать?

[Whitaker]

oleg-oleg
извиняюсь там должно быть так:

$$\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{dt}{t^p (\ln t)^q}=\int \limits_{\ln 3}^{+\infty}\dfrac{(\ln t)^r}{t^p}dt$$

-- Пт ноя 09, 2012 23:08:01 --

ИСН
надо надпись "буйвол" изменить на "слон"?

[Cash]

oleg-oleg в сообщении #642243 писал(а):

Когда $p=1$ мне вся понятно.

oleg-oleg, а какой ответ у вас получился в этом случае?

[oleg-oleg]

Cash в сообщении #642316 писал(а):

oleg-oleg в сообщении #642243 писал(а):

Когда $p=1$ мне вся понятно.

oleg-oleg, а какой ответ у вас получился в этом случае?

При $q>1$ есть сходимость. Но, я как понял, остальное у меня верно=)