ТФКП. отображение единичного круга в единичный круг

[DeVi141414]

Здравствуйте!

Дана задача:
Отобразить круг $\lvert z\rvert < 1$ на круг $\lvert w\rvert < 1$ так, чтобы $w(-1 + i) = -1 + i$, $\arg\,w'(-1 + i) = -\frac {\pi} 4$.

Я пользовалась формулой $w = e^{i\alpha}\dfrac {z - \beta} {1 - \bar{\beta}z}$, поставляя данные значения, но в итоге найти явно $\alpha$ и $\beta$ мне не удалось.

Также у меня встал вопрос, как точка вне круга $-1 + i$ остается неподвижной, но при этом аргумент производной в этой точке есть $-\frac {\pi} 4$ ? Единственное отображение, которое пришло мне в голову - это тождественное, но так как производная ненулевая, оно здесь не подходит.

[samson4747]

$|z|<1\to|\xi|<1$
$\xi(-1+i)=0$, $\operatorname{arg}\xi'(-1+i)=-\dfrac{\pi}{4}$
$w=f_2^{-1}\circ f_1$, где $f_1$ переводит плоскость(кружки $|w|<1;\,|z|<1;\,|\xi|<1$ соответственно) $z$ в $\xi$, а $f_2$ переводит плоскость $w$ в $\xi$.

-- 09.11.2012, 18:26 --

$f_1(z)=f_2(w)$ и найдёте $w$.

-- 09.11.2012, 18:36 --

• $\xi(-1+i)=0$ и $\operatorname{arg}\xi'(-1+i)=-\dfrac{\pi}{4}$
• $\xi = e^{i\varphi}\dfrac {z - a} {1 - \bar{a}z}$, подставили свою точку нашли $a$
• нашли $\xi'(z)$, затем $\xi'(-1+i)$ и $\operatorname{arg}\xi'(-1+i)$, тем самым получив $\varphi$
• $\xi(z)=\dots$, используем найденные $a$ и $\varphi$
• $f_2(-1+i)=0$ и $\operatorname{arg}f'_2(w)=0$
• аналогично, как для $\xi$
• аналогично, как для $\xi$
• аналогично, как для $\xi$
• $f_2(w)=\xi(z)$, преобразовали и получили $w = \dots$

.