2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 ТФКП. отображение единичного круга в единичный круг
Сообщение07.11.2012, 17:28 
Аватара пользователя
Здравствуйте!

Дана задача:
Отобразить круг $\lvert z\rvert < 1$ на круг $\lvert w\rvert < 1$ так, чтобы $w(-1 + i) = -1 + i$, $\arg\,w'(-1 + i) = -\frac {\pi} 4$.

Я пользовалась формулой $w = e^{i\alpha}\dfrac {z - \beta} {1 - \bar{\beta}z}$, поставляя данные значения, но в итоге найти явно $\alpha$ и $\beta$ мне не удалось.

Также у меня встал вопрос, как точка вне круга $-1 + i$ остается неподвижной, но при этом аргумент производной в этой точке есть $-\frac {\pi} 4$ ? Единственное отображение, которое пришло мне в голову - это тождественное, но так как производная ненулевая, оно здесь не подходит.

 
 
 
 Re: ТФКП. отображение единичного круга в единичный круг
Сообщение09.11.2012, 17:24 
Аватара пользователя
$|z|<1\to|\xi|<1$
$\xi(-1+i)=0$, $\operatorname{arg}\xi'(-1+i)=-\dfrac{\pi}{4}$
$w=f_2^{-1}\circ f_1$, где $f_1$ переводит плоскость(кружки $|w|<1;\,|z|<1;\,|\xi|<1$ соответственно) $z$ в $\xi$, а $f_2$ переводит плоскость $w$ в $\xi$.

-- 09.11.2012, 18:26 --

$f_1(z)=f_2(w)$ и найдёте $w$.

-- 09.11.2012, 18:36 --

  • $\xi(-1+i)=0$ и $\operatorname{arg}\xi'(-1+i)=-\dfrac{\pi}{4}$
  • $\xi = e^{i\varphi}\dfrac {z - a} {1 - \bar{a}z}$, подставили свою точку нашли $a$
  • нашли $\xi'(z)$, затем $\xi'(-1+i)$ и $\operatorname{arg}\xi'(-1+i)$, тем самым получив $\varphi$
  • $\xi(z)=\dots$, используем найденные $a$ и $\varphi$
  • $f_2(-1+i)=0$ и $\operatorname{arg}f'_2(w)=0$
  • аналогично, как для $\xi$
  • аналогично, как для $\xi$
  • аналогично, как для $\xi$
  • $f_2(w)=\xi(z)$, преобразовали и получили $w = \dots$
.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group