Количество натуральных чисел

[Maslov]

dydx, Вы не видите никаких противоречий между Вашим утверждением

dydx в сообщении #641470 писал(а):

Так про область определения функции S вообще ничего не сказано. И тем более не сказано, что её областью определения является множество всех натуральных чисел.

и аксиомой 6

dydx в сообщении #641476 писал(а):

6. For every natural number n, S(n) is a natural number.

?

[dydx]

Нашел другой список аксиом: http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2789. И здесь уже точно говорится:
for each $x\in\mathbb{N}$ , there exists exactly one $x'\in\mathbb{N}$ , called the successor of $x$.
Ну и кому верить?

-- 08.11.2012, 14:12 --

Xaositect в сообщении #641482 писал(а):

Там чуть выше написано, что $S$ входит в сигнатуру теории, а это значит, что применять ее можно к любому терму.

Понятие сигнатуры изменится. Изменится метатеория, с финитизма перейдем на нечто еще более строгое, количество термов станет конечным.

[Maslov]

dydx в сообщении #641486 писал(а):

for each $x\in\mathbb{N}$ , there exists exactly one $x'\in\mathbb{N}$ , called the successor of $x$.
Ну и кому верить?

Чем это отличается от аксиомы 6, приведенной Вами ранее?

[dydx]

Ладно. В общем я понял, что во всех списках аксиом неявно подразумевается "there exists exactly one". Но тему я создал не для терминологического спора. Мне стало интересно, что будет, если не будет этого "there exists exactly one", а будет вот так:
1. $0\in\mathbb{N}$ (0 is a natural number)
2. For each $x\in\mathbb{N}$ , if exists exactly one $x'$ , called the successor of $x$, then $x'\in\mathbb{N}$
3. $x'\neq 0$ (0 is not the successor of any natural number)
4. $x = y$ if and only if $x' = y'$ .
5. (axiom of induction) If $M\subseteq\mathbb{N}$ and $0\in M$ and $x\in M$ implies $x'\in M$ , then $M = \mathbb{N}$ .

-- 08.11.2012, 14:22 --

Maslov в сообщении #641490 писал(а):

Чем это отличается от аксиомы 6, приведенной Вами ранее?

Отличается, потому что ее можно понимать и по-другому. В том смысле, как я выше только что написал.

[Xaositect]

dydx в сообщении #641486 писал(а):

Ну и кому верить?

Peano в Arithmetices principia novo methodo exposita писал(а):

Explicationes.

Signo $\mathrm{N}$ significatur numerus (integer positivus).
>> $1$ >> unitus.
>> $a + 1$ >> sequens $a$, sivo $a$ plus $1$.
>> $=$ >> est equalis. Hoc ut novum signum considerandum est, etsi logicae signi figuram habeat.

Axiomata.
1. $1\in \mathrm{N}$.
2. $a\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{.} a = a$.
3. $a,b,c\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{:} a = b \mathop{.} = \mathop{.} b = a$.
4. $a,b\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \therefore a = b \mathop{.} b = c \mathop{:} \supset \mathop{.} a = c$.
5. $a = b \mathop{.} b \in \mathrm{N} \mathop{:} \supset \mathop{.} a\in\mathrm{N}$.
6. $a\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{.} a + 1 \in\mathrm{N}$.
7. $a, b \in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{:} a = b \mathop{.} = \mathop{.} a + 1 = b + 1$.
8. $a\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{.} a + 1 \mathop{-{}=} 1$.
9. $k\in\mathrm{K} \therefore 1\in k \therefore x\in \mathrm{N} \mathop{.} x \in k \mathop{:} \supset_x \mathop{.} x + 1 \in k \mathop{::} \supset \mathop{.} N \supset k$.

[dydx]

Xaositect
А что значат эти точки? Да и вроде не видно здесь нигде, чтобы утверждалось существование $a+1$ для каждого $a$.

[migmit]

dydx в сообщении #641470 писал(а):

migmit
http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_function

А теперь попробуйте ознакомиться с понятием "функция", а не с понятием "частично определённая функция".

[dydx]

migmit
Зачем мне пробовать ознакомиться с понятием "функция", если я и так с ним прекрасно ознакомлен? Функция - это тройка множеств, третье из которых есть функциональное отношение между первыми двумя.

[Xaositect]

dydx в сообщении #641496 писал(а):

Xaositect
А что значат эти точки?

Точки в те времена служили для того же, для чего сейчас скобки. Точных правил расстановки этих точек я, правда, не знаю.

Цитата:

Да и вроде не видно здесь нигде, чтобы утверждалось существование $a+1$ для каждого $a$.

На странице XIII предисловия:

Цитата:

Exempla. Sit $a$ numerus; tunc $a+$ est functionis praesignum in numerorum classe, et $+a$ est functionis postsignum; quicumque enim est numerus $x$, formulae $a+x$ et $x+a$ novos indicant numeros, et ex $x=y$ deducitur $a+x=a+y$, et $x+a = y+a$. Itaque,

$$a\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{:} a+ \mathop{.} \in \mathop{.} \mathrm{F} {\mathop{\textrm`} \mathrm{N}}$$

$$a\in\mathrm{N} \mathop{.} \supset \mathop{:} +a \mathop{.} \in \mathop{.} {\mathrm{N} \mathop{\textrm'}} \mathrm{F}$$

[migmit]

dydx в сообщении #641504 писал(а):

migmit
Зачем мне пробовать ознакомиться с понятием "функция", если я и так с ним прекрасно ознакомлен? Функция - это тройка множеств, третье из которых есть функциональное отношение между первыми двумя.

Прекрасно. Теперь вспомните, что означает "функциональное отношение".

Впрочем, всё даже проще, и вам уже указали. For every natural number n, S(n) is a natural number, и все дела.

[dydx]

migmit в сообщении #641510 писал(а):

Прекрасно. Теперь вспомните, что означает "функциональное отношение".

Это left-total relation и если xRy and xRz then y = z.

migmit в сообщении #641510 писал(а):

Впрочем, всё даже проще, и вам уже указали. For every natural number n, S(n) is a natural number, и все дела.

Приехали. Вообще-то это я первый привел эту цитату из википедии. Очень невнимательно читаете.

[migmit]

dydx в сообщении #641515 писал(а):

migmit в сообщении #641510 писал(а):

Впрочем, всё даже проще, и вам уже указали. For every natural number n, S(n) is a natural number, и все дела.

Приехали. Вообще-то это я первый привел эту цитату из википедии. Очень невнимательно читаете.

Привести-то привели, но явно не поняли. Перевести? "Для каждого натурального числа n, S(n) - натуральное число". Ещё раз: "для каждого".

[dydx]

Xaositect в сообщении #641508 писал(а):

Точки в те времена служили для того же, для чего сейчас скобки.

А двоеточия, двойные двоеточия и треугольники из точек что значат?

[Xaositect]

dydx в сообщении #641521 писал(а):

А двоеточия, двойные двоеточия и треугольники из точек что значат?

Это несколько точек в одном месте.

[dydx]

migmit в сообщении #641518 писал(а):

Привести-то привели, но явно не поняли. Перевести? "Для каждого натурального числа n, S(n) - натуральное число". Ещё раз: "для каждого".

"Для каждого натурального числа n, S(n) - натуральное число" можно понимать по разному. Можно понимать как "для каждого натурального числа n, существует S(n) и оно натуральное число", а можно понимать и иначе: "для каждого натурального числа n, если существует S(n), то оно натуральное число". Чувствуете разницу?