Предел из Демидовича (N 560)

[Padawan]

Номер 560 из задачника Демидовича

$$ \lim_{x\to a} \frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}$$

Раскладывая до первого порядка малости числитель и знаменатель, получается ответ $a^{a^a}\ln a$, который и указан в ответах. Но есть одна загвоздка, при $a=e^{-1}$ главная часть разложения и в числителе и в знаменателе обнуляется, т.е. в этом случае надо раскладывать до второго порядка малости. Подозреваю, что ответ в этом случае будет другой. В Wolphram alpha забил этот предел limit(x->e^(-1)) ((1/e)^((1/e)^x)-(1/e)^(x^(1/e)))/((1/e)^x-x^(1/e)), а он посчитал, что ответ не изменится и в этом случае. Странно. Можно ли это понять из общих соображений, не вычисляя разложения до второго порядка? А может Wolpram alpha ошибся?

[nnosipov]

Пусть $x^a=y$, $\delta=a^x-x^a$. Имеем выражение

$$ a^y \cdot \frac{a^\delta-1}{\delta}, $$

предел которого очевидно равен $a^{a^a}\ln{a}$.

[Praded]

nnosipov в сообщении #640663 писал(а):

Можно ли это понять из общих соображений

Зачем разлагать, если предел берётся Лопиталем за один раз?

[ewert]

Padawan в сообщении #640657 писал(а):

Но есть одна загвоздка, при $a=e^{-1}$ главная часть разложения и в числителе и в знаменателе обнуляется,

Это выглядит как-то невероятно, т.к. производная знаменателя в предельной точке обращается в ноль лишь при $a=1$. А условием, при котором достаточно учитывать члены только первого порядка, как раз и является простота корня знаменателя, т.е. неравенство нулю производной.

[Padawan]

nnosipov
Спасибо. Очевидное обобщение: $\lim_{p,q\to x_0} \frac{f(p)-f(q)}{p-q}=f'(x_0)$
ewert
Да, я неправильно написал. У числителя коэффициент при $x-a$ равен $a^{a^a}a^a(\ln^2 a-\ln a)$, а у знаменателя $a^a(\ln a-1)$. Следовательно "особый" случай $a=e$ (а мне почему-то показалось, что $a=e^{-1}$).