Теорема о гомоморфизмах групп.

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640322 писал(а):

Это нечетные числа!

Стоп. У нас гомоморфизм $\mathbb{Z}\to \{0,1\}$. У чисел из $\mathbb{Z}$ есть образы, а прообразы есть у того, что справа. Прообраз нуля - это четные числа, а прообраз 1 - нечетные.

Этот список прообразов ВНЕЗАПНО совпадает со списком смежных классов, который Вы написали раньше. Так вот, это не случайно. Давайте еще раз посмотрим на все и соберем.

У нас есть две группы $\left<G_1, *\right>$ и $\left<G_2, \times\right>$ и какой-то гомоморфизм $f\colon G_1\to G_2$.
Ядро этого гомоморфизма $N$ - это прообраз нейтрального элемента $e\in G_2$, то есть $N = \{n\in G_1| f(n) = e\}$
Попробуем написать прообраз какого-нибудь произвольного элемента $a\in G_2$, лежащего в образе $f$. Пусть $f(x_a) = a$. Тогда при $n\in N$ $f(x_a * n) = f(x_a)\times f(n) = f(x_a) = a$. То есть весь смежный класс $x_a N$ отображается в $a$. Обратно, если есть два элемента $G_1$ такие, что $f(x) = f(y) = a$, то $f(x^{-1} * y) = a^{-1}\times a = e$, то есть $y = x * (x^{-1} * y) = x * n, n\in N$.
Мы получили, что каждому элементу $a$ в образе ставится в соответствие смежный класс $xN$ - его прообраз. Обратно, каждому смежному классу $xN$ однозначно ставится в соответствие его образ $f(x) = f(x * n) \forall n\in N$.

Вот это взаимно-однозначное соответствие (обозначим его $\varphi$: $\varphi(xN) = f(x), \varphi^{-1}(a) = \{x | f(x) = a\} = x_aN$ для произвольного $x_a$ такого, что $f(x_a) = a$) будет на самом деле изоморфизмом. Докажите это сами, расписав $\varphi(xN * yN)$ и $\varphi^{-1}(a\times b)$.

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640329 писал(а):

Обратно, если есть два элемента $G_1$ такие, что $f(x) = f(y) = a$, то $f(x^{-1} * y) = a^{-1}\times a = e$,

Спасибо
Но я пока не понял - почему $f(x^{-1})=a^{-1}$

-- 05.11.2012, 18:39 --

Xaositect в сообщении #640329 писал(а):

Вот это взаимно-однозначное соответствие (обозначим его $\varphi$: $\varphi(xN) = f(x), \varphi^{-1}(a) = \{x | f(x) = a\} = x_aN$ для произвольного $x_a$ такого, что $f(x_a) = a$) будет на самом деле изоморфизмом. Докажите это сами, расписав $\varphi(xN * yN)$ и $\varphi^{-1}(a\times b)$.

$\varphi(xN * yN)=\varphi(xN)\times \varphi(yN)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi^{-1}(a\times b)=\varphi^{-1}(a) * \varphi^{-1}(b)$

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640373 писал(а):

Xaositect в сообщении #640329 писал(а):

Обратно, если есть два элемента $G_1$ такие, что $f(x) = f(y) = a$, то $f(x^{-1} * y) = a^{-1}\times a = e$,

Спасибо
Но я пока не понял - почему $f(x^{-1})=a^{-1}$

Ну это свойства гомоморфизма, они наверняка у ван дер Вардена где-то раньше выписаны, к этому моменту Вы должны их знать.
пусть $1$ и $e$ --- нейтральные элементы в $G_1$ и $G_2$.
Тогда

$$f(1) = f(1)\times f(x)\times f(x)^{-1} = f(1*x)\times f(x)^{-1} = f(x)\times f(x)^{-1} = e$$

и

$$f(x^{-1}) = f(x^{-1})\times f(x)\times f(x)^{-1} = f(x^{-1} * x)\times f(x)^{-1} = f(1)\times f(x)^{-1} = e \times f(x)^{-1} = f(x)^{-1}$$

.

[Andrei94]

Хорошо, спасибо, понятно, действительно=)

Я так понял, что осталось доказать, что биекция сохраняет структуру (то есть операции $*$ и $\times$) .

$\varphi(xN * yN)=\varphi(xN)\times \varphi(yN)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi^{-1}(a\times b)=\varphi^{-1}(a) * \varphi^{-1}(b)$


$\varphi(xN * yN)=\varphi(xN)\times \varphi(yN)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi^{-1}(a\times b)=x_aN * x_bN=x_a*x_bN$

А как дальше?