Очень базовый вопрос по СТО

[oleg_2]

Пространственно-временная диаграмма.

[vvb]

oleg_2 в сообщении #640197 писал(а):

Пространственно-временная диаграмма.

Неправильная ПВД.
Поворот нужно делать "гиперболический". Это просто: ось x' должна иметь относительно мировой линии светового сигнала тот же угол, что и ось t'.

[Munin]

oleg_2
Заметьте, по вашей формуле (10m), с учётом того, что $\sqrt{1-v^2}<1,$ получается, что $t_B'>t_A.$ Аналогично можно показать, что $t_A>t_A',$ так что в целом получается $t_B'>t_A'$ - точка $t_B'$ должна на зелёной оси быть дальше от начала координат, чем точка $t_A'.$

[oleg_2]

vvb, Munin, большое спасибо.
Я читаю Тейлор-Уилер, и еще плохо разобрался.
Некоторые ПВД от Алия87 казались мне понятными.
И стыдно, и одновременно рад. Буду разбираться.

Munin писал(а):

$t_{A} > t_{A}'$

Да, это неравенство прямо из (1m) выходит.
После исправлений, сделанных vvb на ПВД, это неравенство не очевидно
($t_{A}'$ совпадает с точкой "Событие A"). Правильно ли я понял, что при
"гиперболическом" повороте масштабы черных и зеленых осей отличаются?

[OlegML]

Munin в сообщении #640129 писал(а):

Каким образом вы связываете с событием (A) событие (B)? Вы говорите, что "когда движущиеся часы покажут время $t'$ неподвижные покажут время $t$" - но вот это "когда" подразумеваете "с точки зрения неподвижных часов", потому что $t$ у вас - координата в ИСО неподвижных часов. Но с точки зрения движущихся часов всё по-другому! В их ИСО, "когда" они показывают $t',$ неподвижные в этот момент показывают совсем не $t$!

Я понял, перефразирую на свой лад.
С помощью уравнения 1 мы находим событие t одновременное в неподвижной системе с t', в подвижной же системе одновременным с t будет другое событие.
Предлагаю не цепляться здесь к слову событие. Спасибо.

Есть еще 1 интересный вопрос. Рассмотрим парадокс близнецов.
В своей СО каждый близнец любым показаниям своих часов может сопоставить показания часов брата, происходящие одновременно, т.е. построить график зависимости показаний часов брата от своих. Я попытался это сделать, но не знаю как загрузить рисунок.
На пальцах:
Ось Y - t', ось X - t. Построение кривой в СО Земли кажется очевидным, кривая должна пройти ниже прямой t'=t. Если не учитывать особенности метрики, связанные с наличием ускорений, график в СО ракеты получается путем отражения первого относительно прямой t'=t. Очевидно, эти кривые должны совпадать в начале и в конце пути, чего нет в сделанном приближении.
Вопрос: как правильно нарисовать этот рисунок?

[vvb]

oleg_2 в сообщении #640234 писал(а):

После исправлений, сделанных vvb на ПВД, это неравенство не очевидно
($t_{A}'$ совпадает с точкой "Событие A").

Для этого нужно проградуировать оси и построить гиперболу $t^2 - x^2 = 1$. Пересечение оси t' с этой гиперболой даст Вам единичный отрезок на оси t'.

Ну, или, можно рассуждать так: точки, где показания всех возможных движущихся через начало координат часов равны $t_A$, ложатся на гиперболу $t^2 - x^2 = t_A^2$. А гипербола всегда лежит выше своей вершины в точке $(t_A, 0)$

oleg_2 в сообщении #640234 писал(а):

Правильно ли я понял, что при
"гиперболическом" повороте масштабы черных и зеленых осей отличаются?

Да.

[oleg_2]

vvb, понял. Спасибо.

[Munin]

oleg_2 в сообщении #640234 писал(а):

Правильно ли я понял, что при "гиперболическом" повороте масштабы черных и зеленых осей отличаются?

Если вы нарисуете из центра систему окружностей разными радиусами, то по этим окружностям сможете сопоставлять масштабы осей в разных направлениях для случая обычного поворота. А если нарисуете систему концентрических гипербол, то сможете сопоставлять масштабы осей для случая гиперболического поворота. Но говорить, что масштабы отличаются, при этом не стоит, потому что надо переключить мышление и язык на такое понимание, что само расстояние вычисляется по новой формуле $\sqrt{t^2-x^2},$ так что расстояния между отметками на осях оказываются как раз одинаковыми.

[oleg_2]

OlegML писал(а):

В своей СО каждый близнец любым показаниям своих часов может сопоставить показания часов
брата, происходящие одновременно, т.е. построить график зависимости показаний часов
брата от своих.

Наверно, "своих часов" и "часов брата" имеются ввиду те часы, которые находятся рядом с
каждым из братьев. По аналогии с первой задачей назовем их опорными.
Вы упомянули слово "одновременно". Munin писал, что к слову "одновременно" нужно
указать относительно какой ИСО. Например, ИСО Земли. Для простоты, можно пренебречь
ускорением и рассмотреть только первую половину полета - "туда".

Предположим, что вдоль всей трассы полета
расставлены неподвижные часы, синхронизированные с часами Земли. Тогда космонавт,
выглянув в окошко, увидит, сколько времени теперь дома.
Другой брат знает скорость ракеты и расстояние $x$, где ракета сейчас. Он может вычислить
по СТО время, которое показывают часы другого брата - опорные часы ракеты.
Это решение. (Есть и другое, симметричное решение, там всё наоборот).

Событие A - это космонавт посмотрел на неподвижные часы, мимо которых пролетал.

$t_{A}'^2 = t_{A}^2 - x_{A}^2, \eqno{(11m)}$
$\frac{t_{A}'^2}{t_{A}^2} = 1 - \frac{x_{A}^2}{t_{A}^2} = 1 - v^2, \eqno{(12m)}$
$\frac{t_{A}'}{t_{A}} = \sqrt{1 - v^2}, \eqno{(13m)}$
$t_{A}' = t_{A}\sqrt{1 - v^2}, \eqno{(14m)}$
$t_{A} = \frac{t_{A}'}{\sqrt{1 - v^2}}, \eqno{(15m)}$

Графики, о которых речь в задаче, будут прямые линии.



Я нарисовал ПВД. Разметку сделал, как указали vvb и Munin.
На диаграмме видно, что
$v = \frac{x_{A}}{t_{A}} = \frac{1.2}{2} = 0.6$
$t_{A}' = 1.5$
Сверим с формулами
$t_{A}' = t_{A}\sqrt{1 - v^2} = 2\sqrt{1 - 0.6^2} = 1.6$ -примерно точно.

[oleg_2]

Решение второй половины задачи близнецов ("туда - обратно").

Событием A, о котором говориось в прошлом сообщении, теперь будем считать пересадку
космонавта в обратную ракету. С момента пересадки космонавт неподвижен в новой ИСО K".
Пересадка показана на рис. 5. При пересадке космонавт берет с собой свои часы, так что
$t_{A}'' = t_{A}'$. Обратная скорость равна прямой скорости.
Событие B -это космонавт на обратном пути посмотрел на неподвижные часы, заранее
расставленные по трассе и синхронизированные с Землей. Это событие показано на рис. 6.
Вновь появившиеся обозначения:
$t_{AB}, t_{AB}''$ время между событиями A и B в ИСО K и K";
$x_{AB}$ расстояние между событиями A и B в ИСО K.





$t_{AB}''^2 = t_{AB}^2 - x_{AB}^2, \eqno{(16m)}$
$\frac{t_{AB}''^2}{t_{AB}^2} = 1 - \frac{x_{AB}^2}{t_{AB}^2} = 1 - v^2, \eqno{(17m)}$
$\frac{t_{AB}''}{t_{AB}} = \sqrt{1 - v^2}, \eqno{(18m)}$
$t_{AB}'' = t_{AB}\sqrt{1 - v^2}, \eqno{(19m)}$
$t_{B}'' = t_{A}'' + t_{AB}'', \eqno{(20m)}$
$t_{A}'' = t_{A}'$, момент пересадки в обратную ракету.
$t_{B}'' = t_{A}' + t_{AB}\sqrt{1 - v^2}, \eqno{(21m)}$
из (14m) в прошлом сообщении: $t_{A}' = t_{A}\sqrt{1 - v^2},$
$t_{B}'' = t_{A}\sqrt{1 - v^2} + t_{AB}\sqrt{1 - v^2}, \eqno{(22m)}$
$t_{B}'' = (t_{A} + t_{AB})\sqrt{1 - v^2}, \eqno{(23m)}$
$t_{B}'' = t_{B}\sqrt{1 - v^2}, \eqno{(24m)}$

Вышло, что если прямая и обратная скорости равны, то формулы времени на обоих ветках
совпадают.



По диаграмме
$t_{B}'' = 3,$
$t_{B} = 4$
По формуле
$t_{B}'' = t_{B}\sqrt{1 - v^2} = 4\sqrt{1 - 0,6^2} = 3,2$

График времени по вопросу задачи.

[OlegML]

oleg_2 в сообщении #640867 писал(а):

OlegML писал(а):

В своей СО каждый близнец любым показаниям своих часов может сопоставить показания часов
брата, происходящие одновременно, т.е. построить график зависимости показаний часов
брата от своих.

Наверно, "своих часов" и "часов брата" имеются ввиду те часы, которые находятся рядом с
каждым из братьев. По аналогии с первой задачей назовем их опорными.
Вы упомянули слово "одновременно".

Насчет часов верно. Одновременно конечно же для одного из близнецов. Из уравнения 11m cледует, что Вы
построили такую зависимость только для космонавта, причем без учета разворота и начала пути, где часы
покоятся относительно друг друга. Я же предлагал здесь же изобразить такой же график с точки зрения второго
близнеца. Без учета ускорений его можно получить отражением Вашего графика относительно t'=t. Два графика
будут расходиться, хотя в точке встречи должны совпасть, что бы не было противоречия. Любопытно посмотреть
на такой рисунок.

[vvb]

OlegML в сообщении #641266 писал(а):

Я же предлагал здесь же изобразить такой же график с точки зрения второго
близнеца. Без учета ускорений его можно получить отражением Вашего графика относительно t'=t.

Мировая линия второго близнеца (движущегося) - ломаная и преобразованиями Лоренца ее не "выправить". Т.е. со вторым близнецом никакую ИСО не связать.
Поэтому ситуация принципиально несимметричная.

[Munin]

OlegML в сообщении #641266 писал(а):

Два графика
будут расходиться

Нет, не будут.



Сходятся в одной точке.

[Алия87]

Munin в сообщении #640327 писал(а):

oleg_2 в сообщении #640234 писал(а):

Правильно ли я понял, что при "гиперболическом" повороте масштабы черных и зеленых осей отличаются?

Если вы нарисуете из центра систему окружностей разными радиусами, то по этим окружностям сможете сопоставлять масштабы осей в разных направлениях для случая обычного поворота. А если нарисуете систему концентрических гипербол, то сможете сопоставлять масштабы осей для случая гиперболического поворота. Но говорить, что масштабы отличаются, при этом не стоит, потому что надо переключить мышление и язык на такое понимание, что само расстояние вычисляется по новой формуле $\sqrt{t^2-x^2},$ так что расстояния между отметками на осях оказываются как раз одинаковыми.

[oleg_2]

Большое спасибо.
Гиперболы рисовать трудно, поэтому я обошелся одной гиперболой. А затем переношу
засечки "циркулем", т. е. на глазок.

OlegML,
Munin нарисовал график, и я предчувствую, что у меня получится такой же.
Я пытаюсь решить, только медленно получается.
Представьте, что ракеты длинные, их две - прямая и обратная. На них приделаны часы,
так, что домосед всегда видит время прямой и обратной ракет. Ракеты движутся
непрерывно, садиться в них нужно с помощью малых ускорителей в космопортах. А чтоб
часы не подвергать ускорению, представим, что в момент пересадки и в месте пресадки
часы прямой и обратной ракет показывали одинаковое время, так совпало. Вот мы и
избавились от ускорения.
Домосед знает время по своим часам, когда его брат будет пересаживаться. С этого
момента он должен определять время космонавта по часам не прямой, а обратной ракеты.
А часы на них показывают разное время, да, там, в месте пересадки одинаковое, а тут
разное. Вот и скачек - горизонтальный отрезок на графике.

OlegML,
Мне понравилась задача о поезде, там про одновременность. Я скопировал ввиде рисунка
(см. ниже). Мне Munin порекомендовал Тейлор-Уилер. Кто прочитал первые 40 - 50
страниц - больше вопросов не возникнет. Читается как бестселлер.
Я предлагаю рассмотреть и самые простые задачи.