Теорема о гомоморфизмах групп.

[Xaositect]

Давайте пока не будем $\{0,1,2,3,4\}$. Давайте сначала $G_2 = \{0,1\}$. Давайте определим как-нибудь операцию так, чтобы $G_2$ стало группой. Там должен быть нейтральный элемент, пусть это будет 0, то есть $0\times x = x$, $x\times 0 = x$. И у любого элемента должен быть обратный, остается сделать $1\times 1 = 0$.
Итак, $G_2 = \{0,1\}$, $0\times 0 = 0, 0\times 1 = 1, 1\times 0 = 1, 1\times 1 = 0$. Можете какой-нибудь гомомрфизм с $\left<\mathbb{Z}, +\right>$ на $\left<G_2, \times\right>$ привести?

[Joker_vD]

Andrei94 в сообщении #640155 писал(а):

Так вот он тот самый гомоморфизм, вы же его сами построили=) $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$ переводит $G\to \overline G$

Нет, $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$ — это операция в $\overline G$.

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640249 писал(а):

И у любого элемента должен быть обратный, остается сделать $1\times 1 = 0$.

Я вот это не очень понял. То есть обратный у $1$ и есть $1$? А почему не $0$ - обратный для $1$. Или мы могли взять $0$, но взяли $1$

$f(x)=\diplaystyle\left\{\begin{matrix} 0,\;\;\;\text{если}\;\;\;x =2k\\ 1,\;\;\;\text{если}\;\;\;x =2k+1 \\ k\in \mathbb{Z}\\ \end{matrix}\right.$

или

$f(x)=\dfrac{1-(-1)^x}{2}$

(Оффтоп)

Ну а это было похоже на правду, но не подходит $f(x)=\Big|\cos\big(\frac{\pi x}{2}\big)\Big|$

$f(x)=(-1)^x+1$

-- 05.11.2012, 14:17 --

Joker_vD в сообщении #640254 писал(а):

Нет, $(a,b)\mapsto (a+b)\bmod 5$ — это операция в $\overline G$.

Простите, я неверно вас понял

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640284 писал(а):

Xaositect в сообщении #640249 писал(а):

И у любого элемента должен быть обратный, остается сделать $1\times 1 = 0$.

Я вот это не очень понял. То есть обратный у $1$ и есть $1$? А почему не $0$ - обратный для $1$. Или мы могли взять $0$, но взяли $1$

0 - обратный для 0, он не может быть обратным еще и для 1 (докажите сами, это зависит от мелочей в формулировке определения группы)

Цитата:

$f(x)=\diplaystyle\left\{\begin{matrix} 0,\;\;\;\text{если}\;\;\;x =2k\\ 1,\;\;\;\text{если}\;\;\;x =2k+1 \\ k\in \mathbb{Z}\\ \end{matrix}\right.$

(Оффтоп)

Ну а это было похоже на правду, но не подходит $f(x)=\Big|\cos\big(\frac{\pi x}{2}\big)\Big|$

$f(x)=(-1)^x+1$

Хорошо. О записи не думайте, с тем, что Вы написали, работать вполне удобно. Какое ядро будет у этого гомоморфизма?

[VAL]

Первый мой пост топикстартер не заметил
Сделаю еще попытку.
Мне кажется, методически неверно, что в рассматриваемом примере группа $G_2$ и факторгруппа совпадают.

Пусть $G=\left<\mathbb Z,+\right>$, А $G'$ - группа самосовмещений правильного пятиугольника (частный случай группы диэдра). Ясно, что $G'$ состоит из пяти вращений (включая тождественное) и пяти осевых симметрий.
Рассмотрим гомоморфизм $f:G\to G'$, порождаемый отображением единицы в поворот на $72^0$ (поскольку $G$ циклическая, достаточно указать образ порождающего элемента).

Образом группы $G$ при данном гомоморфизме будет подгруппа $f(G)$ группы $G'$, состоящая из вращений. Ядром гомоморфизма будет подгруппа $H=\left<5\mathbb Z,+\right>$.
По теореме о гомоморфизмах факторгруппа $G/H$ (группа классов вычетов по модулю 5 относительно сложения) будет изоморфна группе вращений правильного пятиугjльника.

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640290 писал(а):

0 - обратный для 0, он не может быть обратным еще и для 1 (докажите сами, это зависит от мелочей в формулировке определения группы)

Точно, обратный элемент - единственный, я уже это как-то недавно доказывал, могу написать, если нужно док-во

Xaositect в сообщении #640290 писал(а):

Какое ядро будет у этого гомоморфизма?

Ядром будут все положительные числа!

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640295 писал(а):

Ядром будут все положительные числа!

Хм.
Напишите определение ядра.

[Andrei94]

VAL в сообщении #640291 писал(а):

Рассмотрим гомоморфизм $f:G\to G'$, порождаемый отображением единицы в поворот на $72^0$ (поскольку $G$ циклическая, достаточно указать образ порождающего элемента).

Спасибо! Вы тут имели ввиду отображение $1+5\mathbb{Z}$ в поворот на 72 градуса??

-- 05.11.2012, 14:52 --

Xaositect в сообщении #640296 писал(а):

Напишите определение ядра.

Ой, простите, я написал ерунду, ядром будут четные числа! Я думал именно так, но написал ересь, простите, пожалуйста, за глупость

-- 05.11.2012, 14:53 --

Ядром линейного отображения $f:\, V\to U$ называется прообраз нулевого элемента $U$:

$\ker f = \{ x\in V: f(x) = 0 \}$

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640298 писал(а):

Ой, простите, я написал ерунду, ядром будут четные числа!

Правильно. Теперь давайте строить факторгруппу по ядру. Какие будут классы смежности по подгруппе четных чисел?

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640308 писал(а):

Andrei94 в сообщении #640298 писал(а):

Ой, простите, я написал ерунду, ядром будут четные числа!

Правильно. Теперь давайте строить факторгруппу по ядру. Какие будут классы смежности по подгруппе четных чисел?

Вот левые классы смежности

$0+2\mathbb{Z}$

$1+2\mathbb{Z}$

Причем левые и правые классы смежности совпадают, значит $2\mathbb{Z}$ - нормальная подгруппа. Верно?

[VAL]

Andrei94 в сообщении #640298 писал(а):

VAL в сообщении #640291 писал(а):

Рассмотрим гомоморфизм $f:G\to G'$, порождаемый отображением единицы в поворот на $72^0$ (поскольку $G$ циклическая, достаточно указать образ порождающего элемента).

Вы тут имели ввиду отображение $1+5\mathbb{Z}$ в поворот на 72 градуса??

Нет. В исходной группе нет элемента $1+5\mathbb{Z}$. При исходном гомоморфизме $f$ отображаются целые числа.
А вот при индуцированном каноническом изоморфизме $\varphi$ в поворот на 72 градуса действительно перейдет смежный класс $1+5\mathbb{Z}$.

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640311 писал(а):

Верно?

Верно. Ну а теперь, чтобы полностью задать факторгруппу, осталось написать операцию в этой факторгруппе.

А после этого давайте вспомним, к чему же мы это все, и подумаем вот о чем: ядро, как Вы правильно заметили - это прообраз нуля при гомоморфизме. А какой вид будут иметь прообразы других элементов?

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640316 писал(а):

Andrei94 в сообщении #640311 писал(а):

Верно?

Верно. Ну а теперь, чтобы полностью задать факторгруппу, осталось написать операцию в этой факторгруппе.

А после этого давайте вспомним, к чему же мы это все, и подумаем вот о чем: ядро, как Вы правильно заметили - это прообраз нуля при гомоморфизме. А какой вид будут иметь прообразы других элементов?

Прообразы других элементов - все будут $1$, вроде как

[Xaositect]

Andrei94 в сообщении #640319 писал(а):

Прообразы других элементов - все будут $1$, вроде как

А какие это другие элементы?

[Andrei94]

Xaositect в сообщении #640321 писал(а):

Andrei94 в сообщении #640319 писал(а):

Прообразы других элементов - все будут $1$, вроде как

А какие это другие элементы?

Это нечетные числа!

-- 05.11.2012, 15:49 --

А нельзя просто взять сложение за операцию? Тогда фактор группа $G_1/\mathbb{Z}=\mathbb{Z}$