Двойственное пространство к двойственному для K[x]

[dmitriy11]

Есть векторное пространство - пространство многочленов над некоторым полем (к примеру, комплексным).
Как выглядит двойственное к нему пространство? И как понять, что размерность двойственного "больше" размерности исходного (исходное предполагается бесконечным)?
Как выглядит двойственное к двойственному?
И как построить гомоморфизм из исходного пространства во второе двойственное (он же не будет сюръективным)?

[Chernoknizhnik]

Если Вам нужно определить линейный функционал, то его достаточно определять на базисе. Каков самый простой базис в пространстве многочленов? Тем самым, функционалы можно отождествлять с последовательностями (комплексных чисел). Чтобы доказать, что размерность двойственного больше размерности пространства многочленов, докажите, что размерность двойственного - континуум (можно даже базис построить - взять во множестве натуральных чисел линейно упорядоченное континуальное семейство подмножеств (как?) и их характеристические функции - это и будет базис, почему?)

[dmitriy11]

Базис - это мономы: $1, x, x^2, ..., x^n, ...$

Функционалы, являющиеся базисом в V*, если я правильно понимаю, это: $f^0(1)=1$, $f^1(x)=1$, ..., $f^n(x^n)=1$, ... Т.е., общий вид их: $f^i(x^j)=\delta_i_j$, i,j=0,...,n,...
Каким образом двойственный базис отождествить с последовательностями комплексных чисел?

[apriv]

dmitriy11 в сообщении #640016 писал(а):

Функционалы, являющиеся базисом в V*, если я правильно понимаю, это: $f^0(1)=1$, $f^1(x)=1$, ..., $f^n(x^n)=1$, ...

Эти функционалы не образуют базис в $V^*$. Если отождествить $V=k[x]$ с отображениями $\mathbb N\to k$, равными нулю почти всюду, то $V^*$ естественно отождествляется со всеми отображениями $\mathbb N\to k$. А естественное отображение $V\to V^{**}$ есть вообще для любого пространства $V$.

[arseniiv]

apriv в сообщении #640030 писал(а):

А естественное отображение $V\to V^{**}$ есть вообще для любого пространства $V$.

Как это? Только для конечномерных же.

[Joker_vD]

arseniiv
Не, оно есть для любых, вот только изоморфизмом оно действительно является лишь в случае $\dim V < +\infty$.

[CptPwnage]

Вроде бы изоморфизм будет не только при конечных размерностях, для гильбертовых пространств кажется всегда..

[Xaositect]

CptPwnage в сообщении #640057 писал(а):

Вроде бы изоморфизм будет не только при конечных размерностях, для гильбертовых пространств кажется всегда..

Там сопряжение другое.

[Oleg Zubelevich]

Если $H$ действительное гильбертово пространство то $H'$ изоморфно $H$, но топологически сопряженное пространство и алгебраически сопряженное пространство -- не одно и тоже

[dmitriy11]

apriv в сообщении #640030 писал(а):

Если отождествить $V=k[x]$ с отображениями $\mathbb N\to k$, равными нулю почти всюду, то $V^*$ естественно отождествляется со всеми отображениями $\mathbb N\to k$. А естественное отображение $V\to V^{**}$ есть вообще для любого пространства $V$.

У меня в голове не укладывается, как многочлен $a_nx^n+...+a_1x+a_0$ можно перевести в $\mathbb C$ отображением $\mathbb N\to k$, точнее причем тут $\mathbb N$?

Пробовал искать в литературе.
Нашел только в Винберге нечто похожее в виде задачки правда для конечномерного случая (гл. 5, $\S$3, задача 2).
А также в книге Городенцева на стр. 124 - там отождествляют $\mathbb C[x]^{*}$ с пространством формальных степенных рядов. Мне это тоже не ясно.

[apriv]

Многочлен это последовательность комплексных чисел $a_0,a_1,\dots,a_n$. Можно считать, что эта последовательность бесконечна (следующие члены равны нулю): $a_0,a_1,\dots$. Последовательность комплексных чисел — это и есть отображение $\mathbb N\to\mathbb C$, $i\mapsto a_i$. Поэтому $\mathbb C[x]$ есть пространство отображений $\mathbb N\to\mathbb C$, равных нулю почти всюду. Если теперь имеется такая последовательность $a=(a_0,a_1,\dots)$ и совершенно произвольная последовательность $b=(b_0,b_1,\dots)$, то $b$ можно рассматривать как функционал на $\mathbb C[x]$, сопоставляющий последовательности $a$ число $\sum_{i=0}^{\infty}a_ib_i$.

[dmitriy11]

Спасибо :)
Начинаю понимать.

Таким образом:
$V$ изоморфно пространству последовательностей вида $(a_0,a_1,...,a_k,0,0,...)$
$V^{*}$ состоит из функционалов $b$, которые действуют как $b(a_0,a_1,...,a_k,0,0,...)=\sum_{i=0}^{\infty}b_ia_i=\sum_{i=0}^kb_ia_i$ (т.е. изоморфно пространству всех последовательностей вида $(b_0,b_1,...,b_k,b_{k+1},...)$). Отсюда можно понять, что $V^{*}$ несчетномерно.

Получается, что $V^{**}$ состоит из функционалов $c$, которые действуют как $c(b_0,b_1,...,b_k,b_{k+1},...)=\sum_{i=0}^{\infty}c_ib_i$ (т.е. изоморфно пространству всех последовательностей вида $(c_0,c_1,...,c_k,c_{k+1},...)$).
Как теперь сделать гомоморфизм $V\to V^{**}$?
Можно ли тут сказать, что $(a_0,a_1,...,a_k,0,0,...)$ переходит в совокупность элементов {$c:(a_0,a_1,...,a_k,c_{k+1},c_{k+2},...)$} (где первые $k+1$ элементов фиксированы, а $c_{k+1},c_{k+2},...$ пробегают все возможные значения)? И если это мое предположение верно, то как это объяснить? Почему можно сопоставить элементы $V$ и $V^{**}$ таким образом?

[apriv]

Для любого вообще пространства $V$ есть гомоморфизм из $V$ в $V^{**}$, сопоставляющий элементу $v\in V$ отображение $V^*\to k$, $\phi\mapsto \phi(v)$.

[dmitriy11]

Я согласен, что есть гомоморфизм из $V$ в $V^{**}$.

Мне остается понять:
1) из каких элементов состоит $V^{**}$?
2) как увидеть, что размерность $V^{**}$ больше размерности $V^{*}$?

[apriv]

dmitriy11 в сообщении #642797 писал(а):

1) из каких элементов состоит $V^{**}$?
2) как увидеть, что размерность $V^{**}$ больше размерности $V^{*}$?

Примените то же самое рассуждение к $V^*$, все и получится. Если есть базис $(v_i)_{i\in I}$ любого пространства $V$, то элементы $V$ записываются как суммы $\sum_{i\in I}\alpha_iv_i$, то есть, как элементы $V^I$, равные нулю почти всюду, а элементы $V^*$ — как все элементы $V^I$.