Функциональное уравнение

[Pyphagor]

Найти непрерывную F(x), такую что: F(F(x))= -1/x для всех х кроме 0.

Отредактировано. dm

[Алексей К.]

Ну и я тогда себя уредактировал

[ИСН]

1. Pyphagor - несомненно, живой человек и не спамер. Следовательно, на компе у него сидит вирус, который вставляет данную ссылку во все его сообщения. Вирус против эстонцев - это лучше, чем наоборот, но всё-таки это вирус. Лечитесь.
2. Задача нахождения половинной (да вообще произвольной) итерационной степени от дробно-линейной функции имеет точное решение. Это связано с тем фактом, что итерировать функции вида $ax+b\over cx+d$ - это ровно то же самое, что перемножать матрицы $\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array}\right)$

[neo66]

ИСН писал(а):

2. Задача нахождения дробной (да вообще произвольной) итерационной степени от дробно-линейной функции имеет точное решение. Это связано с тем фактом, что итерировать функции вида $ax+b\over cx+d$ - это ровно то же самое, что перемножать матрицы $\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array}\right)$

Замечательная идея! К сожалению, получаем функцию, $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$, разрывную в точке $x=-1$. И как устранить этот разрыв, непонятно.

[Lion]

А кто сказал, что функция $F(x)$ должна быть дробно-линейной
Она же должна быть непрерывной...

[neo66]

Так и я о том же .

[VladimirVK]

Осмелюсь предложить ученым мужам частное решение:
f(x)=exp(pi/2 + j(pi/2 +ln(x)))

[neo66]

VladimirVK писал(а):

Осмелюсь предложить ученым мужам частное решение:
f(x)=exp(pi/2 + j(pi/2 +ln(x)))

А что такое j? Пользуйтесь тегом [math]. Это несложно.

[VladimirVK]

Изз-ините
j - мнимая еденица.

[neo66]

VladimirVK писал(а):

Изз-ините
j - мнимая еденица.

Мне казалось, что требуется найти функцию $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

[Скорцонер]

Такой непрерывной функции (действительной) быть не может.
Пусть b >0. Предположим для определенности, что F(b) = a > 0. Имеем: F(a) = FF(b) = -1/b < 0. Следовательно, F имеет положительный корень x0, лежащий между а и b, F(x0) = 0. Но тогда
F(–1/x0) = F(FF(x0)) = FFF(x0) = FF(F(x0)) = FF(0) = –1/0,
т.е. функция не определена в точке –1/х0. Так же разбирается случай a < 0.
Замечательно, что все же, как показал Владимир, комплексное решение существует.

[neo66]

Скорцонер писал(а):

Такой непрерывной функции (действительной) быть не может.
Пусть b >0. Предположим для определенности, что F(b) = a > 0. Имеем: F(a) = FF(b) = -1/b < 0. Следовательно, F имеет положительный корень x0, лежащий между а и b, F(x0) = 0. Но тогда
F(–1/x0) = F(FF(x0)) = FFF(x0) = FF(F(x0)) = FF(0) = –1/0,
т.е. функция не определена в точке –1/х0. Так же разбирается случай a < 0.
Замечательно, что все же, как показал Владимир, комплексное решение существует.

Условие $f(f(x))=- \frac{1}{x}$, не выполняется в точке $x=0$. Почитайте условие задачи!
А ответ верный . Проще всего это следует из того факта, что суперпозиция непрерывных функций непрерывна.
Если ослабить требование непрерывности, то, как заметил ИСН, для функции, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
$f(x)=\frac{x-1}{x+1}, x\neq -1$
$f(-1) = 0$
выполняется равенство $f(f(x))=-\frac {1}{x}, \forall x\in \mathbb{R}, x\neq 0$

[Руст]

Легко доказать, что непрерывной всюду, за исключением 0 функции, являющейся решением не существует.

[RIP]

VladimirVK писал(а):

Осмелюсь предложить ученым мужам частное решение:
f(x)=exp(pi/2 + j(pi/2 +ln(x)))

Какова же область определения этой функции?

[VladimirVK]

Цитата:

Какова же область определения этой функции?....

...Ну C , за исключением, быть может , нуля. Или как иногда говорят " но не для всех"