Разломанный отрезок

[Руст]

Во первых, надо заметить, что надо делить на равные части. При делении на $k$ частей $a_1*...a_k\le (\frac{a_1+...+a_k}{k})^k=\frac{a^k}{k^k}$. Равенство только при делении на равные части. Теперь выясняем какое $k$ дает максимальное значение. Пусть $f(k)=(\frac ak)^k, g(k)=\frac{f(k+1)}{f(k)}=\frac{ak^k}{(k+1)^{k+1}}, g(k)=g(k-1)\frac{k-1}{k+1}(1-\frac{1}{k^2})^{-k}.$
Покажем, что g(k) монотонно убывает. $g(1)=\frac a4, g(2)=\frac{4a}{27}<g(2),g(3)=\frac{27a}{256}<g(2).$
Разложим

$$ln(\frac{g(k)}{g(k-1)}=\ln(1-\frac 1k)-\ln(1+\frac 1k)-k\ln(1-\frac{1}{k^2})=-2\sum_{n-odd}\frac{1}{nk^n}+\sum_{n-odd}\frac{2}{(n+1)k^n}=-2\sum_{n-odd}\frac{1}{n(n+1)k^n}<0.$$

Поэтому, надо найти первое $g(k)$, таклгл, что $g(k)\le1$. Тогда максимум будет $f(k)$. При больших а, действительно части будут близки к е.

[_Ivana]

Руст в сообщении #639812 писал(а):

Во первых, надо заметить, что надо делить на равные части.

Да, этот момент мы опускали "за очевидностью", однако его следовало строго доказать.

Есть последовательность $a_n = (n + 1)(1 + 1/n)^n$ (выводится тривиально), которая задает длины отрезков, допускающих 2 варианта разбиения при равенстве максимумов. Если длина отрезка не равна какому-нибудь члену этой последовательности, то количество разбиений берем равным порядковому номеру ближайшего к длине отрезка сверху члена последовательности, если равна - допустимо 2 варианта разбиения.

[vorvalm]

В условии задачи не определен размер отрезка $a$ относительно
числа $C=6,739.$
Если $a<C,$ то отрезок надо делить пополам.
Если $a>C,$ то зависимость более сложная.

[_Ivana]

vorvalm в сообщении #639832 писал(а):

Если $a>C,$ то зависимость более сложная.

Которая, собственно, была аналитически выведена несколькими участниками ещё вчера
Кстати, а откуда эта магическая константа?

[vorvalm]

_Ivana в сообщении #639834 писал(а):

Которая, собственно, была аналитически выведена несколькими участниками ещё вчера
Кстати, а откуда эта магическая константа?

Совершенно согласен.
Константа $C$ получена путем несложного программирования.

[_Ivana]

vorvalm в сообщении #639840 писал(а):

Константа получена путем несложного программирования.

Путем ещё более несложных рассуждений, приводящих к последовательности, написанной мною выше, мы получаем значение вашей константы $C$ как $a_2 = 6.75$, а также все остальные константы

[vorvalm]

Константа $a_2=6,75$ допускает деление отрезка $a$
как на две, так и на три части при равенстве произведений этих частей.
Константа $C=6,739$ разделяет эти варианты.

[Shadow]

А если а целое и надо разбить на отрзки с целыми длинами? (Еще легче получается, но ...надо строго доказать)

(Оффтоп)

И зачем придавать задаче геометрический смысл, когда она геометрического смысла не имеет?

Ktina в сообщении #639677 писал(а):

На сколько частей и как нужно разломать отрезок данной длины $a$

...и рядом задан отрезок длины 1

-- 04.11.2012, 10:38 --

А может быть и имеет геометричекого смысла...если только циркулем и линейкой

[Руст]

Определим числа $a(0)=0,a(k)=(k+1)^{k+1}k^{-k}, g(k,a(k))=1$. Ясно, что если $a<a(k)$ то надо делить на не более чем k частей, а при $a>a(k+1)$ не менее чем на k+1 частей.
Точнее при $a(k-1)<a\le a(k)$ надо делить на k частей (при равенстве, все равно на k частей или на k+1 частей).
Из представления $a(k)=(k+1)(1+\frac 1k)^k<(k+1)e$ и $a(k)=k(1+\frac 1k)^{k+1}>ke$, получается ранее указанной принцип надо делить на m или m+1 частей, где $m=[\frac{a}{m}$.
Можно уточнить этот принцип. Несложно доказать, что $e\sqrt{k(k+1}<a(k)<e(k+\frac 12)$. Соответственно вычислим $m=[\frac ae]$, если $a\ge e(m+\frac 12)$, то делим точно на $m+1$ частей. Если $a\le e\sqrt{m(m+1)}$ то точно делим на m частей. Если между геометрическим и арифметическим средним, то потребуется сравнить с точным значением $a(m)$.

[ewert]

Что-то я не понимаю, зачем так долго. По условию надо минимизировать по $n$ выражение $\left(\dfrac{a}n\right)^n$ (равенство отрезков считаем тривиальным, т.к. оно сразу следует из случая $n=2$). Ну так тупо дифференцируем логарифм этого выражения по $n$ и мгновенно находим, что максимум будет при $n=\dfrac{a}e$. Т.е. надо выбирать $n$ из двух возможных вариантов: из округления этой дроби влево и его округления вправо, а выбирать -- видимо, только подстановкой, вряд ли есть более явное правило.

[Praded]

ewert в сообщении #639902 писал(а):

надо минимизировать

У ТС надо максимизировать.
Впрочем, у вас это просто описка.