2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 08:31 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Во первых, надо заметить, что надо делить на равные части. При делении на $k$ частей $a_1*...a_k\le (\frac{a_1+...+a_k}{k})^k=\frac{a^k}{k^k}$. Равенство только при делении на равные части. Теперь выясняем какое $k$ дает максимальное значение. Пусть $f(k)=(\frac ak)^k, g(k)=\frac{f(k+1)}{f(k)}=\frac{ak^k}{(k+1)^{k+1}}, g(k)=g(k-1)\frac{k-1}{k+1}(1-\frac{1}{k^2})^{-k}.$
Покажем, что g(k) монотонно убывает. $g(1)=\frac a4, g(2)=\frac{4a}{27}<g(2),g(3)=\frac{27a}{256}<g(2).$
Разложим $$ln(\frac{g(k)}{g(k-1)}=\ln(1-\frac 1k)-\ln(1+\frac 1k)-k\ln(1-\frac{1}{k^2})=-2\sum_{n-odd}\frac{1}{nk^n}+\sum_{n-odd}\frac{2}{(n+1)k^n}=-2\sum_{n-odd}\frac{1}{n(n+1)k^n}<0.$$
Поэтому, надо найти первое $g(k)$, таклгл, что $g(k)\le1$. Тогда максимум будет $f(k)$. При больших а, действительно части будут близки к е.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 10:19 


05/09/12
2587
Руст в сообщении #639812 писал(а):
Во первых, надо заметить, что надо делить на равные части.
Да, этот момент мы опускали "за очевидностью", однако его следовало строго доказать.

Есть последовательность $a_n = (n + 1)(1 + 1/n)^n$ (выводится тривиально), которая задает длины отрезков, допускающих 2 варианта разбиения при равенстве максимумов. Если длина отрезка не равна какому-нибудь члену этой последовательности, то количество разбиений берем равным порядковому номеру ближайшего к длине отрезка сверху члена последовательности, если равна - допустимо 2 варианта разбиения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 10:35 


31/12/10
1555
В условии задачи не определен размер отрезка $a$ относительно
числа $C=6,739.$
Если $a<C,$ то отрезок надо делить пополам.
Если $a>C,$ то зависимость более сложная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 10:40 


05/09/12
2587
vorvalm в сообщении #639832 писал(а):
Если $a>C,$ то зависимость более сложная.
Которая, собственно, была аналитически выведена несколькими участниками ещё вчера :wink:
Кстати, а откуда эта магическая константа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 10:49 


31/12/10
1555
_Ivana в сообщении #639834 писал(а):
Которая, собственно, была аналитически выведена несколькими участниками ещё вчера :wink:
Кстати, а откуда эта магическая константа?

Совершенно согласен.
Константа $C$ получена путем несложного программирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 10:53 


05/09/12
2587
vorvalm в сообщении #639840 писал(а):
Константа получена путем несложного программирования.
Путем ещё более несложных рассуждений, приводящих к последовательности, написанной мною выше, мы получаем значение вашей константы $C$ как $a_2 = 6.75$, а также все остальные константы :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 11:23 


31/12/10
1555
Константа $a_2=6,75$ допускает деление отрезка $a$
как на две, так и на три части при равенстве произведений этих частей.
Константа $C=6,739$ разделяет эти варианты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 11:33 


26/08/11
2110
А если а целое и надо разбить на отрзки с целыми длинами? (Еще легче получается, но ...надо строго доказать)

(Оффтоп)

И зачем придавать задаче геометрический смысл, когда она геометрического смысла не имеет?
Ktina в сообщении #639677 писал(а):
На сколько частей и как нужно разломать отрезок данной длины $a$
...и рядом задан отрезок длины 1


-- 04.11.2012, 10:38 --

А может быть и имеет геометричекого смысла...если только циркулем и линейкой

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 12:30 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Определим числа $a(0)=0,a(k)=(k+1)^{k+1}k^{-k}, g(k,a(k))=1$. Ясно, что если $a<a(k)$ то надо делить на не более чем k частей, а при $a>a(k+1)$ не менее чем на k+1 частей.
Точнее при $a(k-1)<a\le a(k)$ надо делить на k частей (при равенстве, все равно на k частей или на k+1 частей).
Из представления $a(k)=(k+1)(1+\frac 1k)^k<(k+1)e$ и $a(k)=k(1+\frac 1k)^{k+1}>ke$, получается ранее указанной принцип надо делить на m или m+1 частей, где $m=[\frac{a}{m}$.
Можно уточнить этот принцип. Несложно доказать, что $e\sqrt{k(k+1}<a(k)<e(k+\frac 12)$. Соответственно вычислим $m=[\frac ae]$, если $a\ge e(m+\frac 12)$, то делим точно на $m+1$ частей. Если $a\le e\sqrt{m(m+1)}$ то точно делим на m частей. Если между геометрическим и арифметическим средним, то потребуется сравнить с точным значением $a(m)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 13:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Что-то я не понимаю, зачем так долго. По условию надо минимизировать по $n$ выражение $\left(\dfrac{a}n\right)^n$ (равенство отрезков считаем тривиальным, т.к. оно сразу следует из случая $n=2$). Ну так тупо дифференцируем логарифм этого выражения по $n$ и мгновенно находим, что максимум будет при $n=\dfrac{a}e$. Т.е. надо выбирать $n$ из двух возможных вариантов: из округления этой дроби влево и его округления вправо, а выбирать -- видимо, только подстановкой, вряд ли есть более явное правило.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разломанный отрезок
Сообщение04.11.2012, 13:37 
Заслуженный участник


21/05/11
897
ewert в сообщении #639902 писал(а):
надо минимизировать
У ТС надо максимизировать. :lol:
Впрочем, у вас это просто описка.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group