Гипервещественные числа и 0^0

[Anixx]

После прочтения изложения анализа с использованием гипервещественных чисел http://www.math.wisc.edu/~keisler/keislercalc-2-12.pdf у меня остались смешанные чувства. С одной стороны, идея интересная, с другой стороны, гипервещественные числа в курсе оставлены неопределимым (non-definable) множеством. Они служат только как вспомогательное средство при определении интегралов и производных. Даже от понятия "предел" автору избавиться не удалось. Из неопределимости следует невозможность привести пример гипервещественного числа.

В связи с этим, я задался идеей построить определимую (definable) систему гипервещественных чисел. И кажется, мне это удалось.

Итак, для построения нашей системы, мы дополняем вещественные числа бесконечно малым элементом - $\varepsilon$ (и для удобства, обратным ему бесконечно большим элементом $\frac1\varepsilon=\omega$), обладающим следующим свойством:

$$0^\varepsilon = \frac{1}{e}$$

Нетрудно видеть, что используя обычные правила, можно вывести следующие формулы:

$$e^{-\frac{1}{\varepsilon}}=0$$

$$\omega=\frac{1}{\varepsilon}=-\ln 0$$

$$\frac{1}0=e^\omega$$

$$0^x =e^{-x\omega}$$

И, в частности,

$$0^{-\varepsilon^2}=1$$

$$\log_0 1=-\varepsilon^2$$

$$0^0=\exp(-\frac{1}{\omega^\omega})=\exp(-\varepsilon^\omega)$$

$$e^{\varepsilon}=1$$

Многие вещи упрощаются в приведенной системе.

Например, дельта-функция будет выглядеть так: $\delta(x)=e^{1/\varepsilon}$, если $x=0$, иначе $\delta(x)=0$. Ее интеграл будет равен единице. Можно создать подобные функции, у которых будет любой желаемый интеграл, но значение отличающееся от нуля только в одной точке.

Можно сконструировать даже аналтические функции с похожим поведением.

Ваше мнение?

[Portnov]

Есть такая вещь — нестандартный анализ, погуглите. Несмотря на название, это вполне разработанная и строгая математическая теория. Правда, афаик, никаких существенных результатов сама по себе она не содержит, но содержит «альтернативное» изложение классического математического анализа с использованием расширенного множества действительных чисел вместо последовательностей и пределов.

[Nxx]

Вы что не видите в вопросе ссылку на учебник по нестандартному анализу?

[statistonline]

я вот этого не понял:

$$0^\varepsilon =\frac{1}{e}$$

Ведь $\frac{1}{e}\approx 0,37$, и это можно непосредственно на листке бумаги проверить, используя ряды. А тут как проверить? Или я неправильно понял смысл величины e?

[dmd]

В любом анализе $0^0$ - неопределённость. Это означает, что в рамках анализа подобная запись однозначно подразумевает $f(X)^{g(Y)}$, где $f(X)=0$, $g(Y)=0$, $X$ и $Y$ - векторы, компоненты которых могут совпадать или не совпадать. Арифметически $0^0$ - бессмысленность, которой нет места в любом анализе.

[Nxx]

statistonline в сообщении #638117 писал(а):

я вот этого не понял:

$$0^\varepsilon =\frac{1}{e}$$

Ведь $\frac{1}{e}\approx 0,37$, и это можно непосредственно на листке бумаги проверить, используя ряды. А тут как проверить? Или я неправильно понял смысл величины e?

и что вам не понятно? Вводится величина $\varepsilon$, такая что по определению

$$0^ {a\varepsilon} =\frac{1}{e^a}$$

[statistonline]

$\ln (0^0)=-\frac{0}{\varepsilon }$

$\ln ({e}^{-\varepsilon ^\omega })=-\varepsilon ^\omega $

$0=\varepsilon^{\omega +1}\doteq \varepsilon ^\omega $

$0^{\varepsilon }=\varepsilon ^{\omega \varepsilon }=\varepsilon ^1=\varepsilon =\frac{1}{e}$

$\frac{1}{\varepsilon }=e=\omega $
Так?

[Xaositect]

Противоречия вылезают гораздо проще.
$0^{\varepsilon} = \frac{1}{e}\Rightarrow \frac{1}{e^2} = 0^\varepsilon\cdot 0^\varepsilon = (0\cdot 0)^{\varepsilon} = \frac{1}{e}$.
Вот если взять $\varepsilon^\varepsilon = \frac{1}{e}$ или $\delta^\varepsilon = \frac{1}{e}$, где $\varepsilon, \delta$ инфинитезимальны, то мб и получится что-нибудь полезное.

[Nxx]

Цитата:

$0^\varepsilon\cdot 0^\varepsilon = (0\cdot 0)^{\varepsilon}$

Это то же самое, что написать $i^2=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1) \cdot (-1)}=1$

[Xaositect]

Nxx в сообщении #638824 писал(а):

Цитата:

$0^\varepsilon\cdot 0^\varepsilon = (0\cdot 0)^{\varepsilon}$

Это то же самое, что написать $i^2=\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{(-1) \cdot (-1)}=1$

Мы же вроде говорим о гипердействительных числах, а там все утверждения теории действительных чисел должны выполняться, в частности, если $a^c$ и $b^c$ определены, то $a^cb^c = (ab)^c$

[Nxx]

Ну а если, допустим, не говорить о гипердействительных числах, а просто ввести такой вот элемент?

Он, кстати, будет совместим с аксиомами для дуальных чисел? http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_number