Вопрос касательно множеств.

[reie]

Есть такой вопрос касательно теории множеств. Если множество, скажем А, является элементом другого множества (не включено, а именно является элементом), скажем В, можно ли дублировать элементы множества А в множестве В и тем самым говорить что возможна ситуация, в которой есть элемент, принадлежащий множеству А и одновременно являющийся отдельным элементом множества В?
чтобы выглядело примерно так:
$A = \{ x_1,x_2,...,x_k,... \} $
$B = \{ \{ x_1,x_2,...,x_k,... \} ,y_1,y_2,...,x_k,...\}.$
То есть возможна ли ситуация
$x \in A$ и $A \in B$ и $x \in B$?
Опять таки - вопрос не в том, чтобы такое соблюдалось постоянно, а в том, возможно ли в отдельных случаях? Просто я еще не до конца эту тему понимаю, но желаю разобраться.
Навеяно первой же тридцаткой упражнений в учебнике "Тишин В.В. Дискретная математика в примерах и задачах"
Надеюсь, понятно спросил.

[xmaister]

Да, можно сколько угодно. Вам в помощь аксиома фундирования и то, что ни для какого множества $U$ не может быть $\{U\}\in U$. Т.е. рассмотрев мноество $U_0=\{U\}$ и $U_1=U_0\cup \{x_1\}$, $U_{i+1}=U_i\cup \{x_{i+1}\}$. Все $U_i$ будут различны, если Вы об этом. А так, $ZFC$ допускает нам строить упорядоченные пары, объединения, пересечения, степень. Аксиомой выбора мы можем ещё настряпать кучу множеств с помощью тансфинитной индукции.

[reie]

Мне пока не все понятно из вашего ответа (1 курс, пока еще не так хорошо знаком с теорией множеств), однако возможность этого уже облегчает мне решение задачи. Благодарю.

[Профессор Снэйп]

По определению натуральных чисел $0 = \varnothing$ и $n+1 = \{ 0, \ldots, n \}$. Вникните в это. Напишите, например, чему равно число $2$, число $3$...

[Toucan]

Тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #638329 писал(а):

По определению натуральных чисел $0 = \varnothing$ и $n+1 = \{ 0, \ldots, n \}$.

А почему не $0=\varnothing$ и $n+1=\{n\}$?

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Munin
Можно строить и так, кто спорит. Но тогда все числа (за исключением нуля) равномощны друг другу — это одноэлементные множества, а при стандартном определении $0=\varnothing,\, n+1=n\cup\{n\}$ у вас в числе $n$ будет ровнехонько $n$ элементов.

[Munin]

(Оффтоп)

Удобно. Значит, можно напрямую записать $\aleph_0=\mathbb{N}$? Хотя всё-таки непривычно. Беру подмножество $\mathbb{N},$ и вдруг оказывается, что оно же элемент $\mathbb{N}.$ Впрочем моё предложение страдает тем же недостатком, только на других подмножествах.

[Профессор Снэйп]

Joker_vD в сообщении #638359 писал(а):

Munin
Можно строить и так, кто спорит. Но тогда все числа (за исключением нуля) равномощны друг другу — это одноэлементные множества, а при стандартном определении $0=\varnothing,\, n+1=n\cup\{n\}$ у вас в числе $n$ будет ровнехонько $n$ элементов.

Кроме того, $n < m \Leftrightarrow n \in m$.

Да и не только в порядке дело. При стандартном подходе операции на натуральных числах гораздо проще определяются

-- Ср окт 31, 2012 23:14:14 --

Munin в сообщении #638369 писал(а):

Значит, можно напрямую записать $\aleph_0=\mathbb{N}$? Хотя всё-таки непривычно.

Ой, а для меня это уже настолько привычно...