Коэффициент конкордации Кендалла. Откуда число 12?

[longstreet]

Встретил:

Цитата:

Kendall and Smith (1939) provided a descriptive measure of agreement or concordance for data comprised of M sets of ranks, where M > 2.

А что, для двух упорядочений не работает W?

[Евгений Машеров]

Работает, отчего нет? Просто для двух упорядочений есть другие методы. Спирмэн, тот же Кендалл - коэффициент "тау" и т.п.

[longstreet]

Спасибо!

-- 30.10.2012, 21:01 --

Имея в виду обозначенную выше задачу, что можно сказать о коэффициенте Альфа Кронбаха - можно его тут использовать как характеристику согласованности ответов? Я только что узнал/наткнулся на этот коэффициент в следующем контексте:

Цитата:

Методика прошла проверку на психометрическую надежность (статистический коэффициент надежности-согласованности ответов респондентов, так называемый «Альфа Кронбаха»).

[longstreet]

Интересно. Наткнулся на форум, где разбирается похожая (вроде бы) задача и одним из участников указана статья, вроде бы являющуюся решением. Пока понять, насколько она подходит, не смог.

[Евгений Машеров]

Альфа Кронбаха для величин, измеряемых не в ранговой шкале, а в непрерывной (интервальной или шкале отношений).
А в общем-то, тут все обсуждаемые меры в значительной степени эмпиричны, так что "хоть и безобразно, но однообразно", в смысле использовать одинаковую характеристику для разных вариантов лучше, чем использовать разные, ища наилучшую для каждого - они будут, скорее всего, несравнимы.

[Евгений Машеров]

longstreet в сообщении #637738 писал(а):

А как средний ранг по группе вычисляется? Просто среднее арифметическое? (Но ведь правильно же вроде по медиане Кемени-Снелла...)

Медиана Кемени-Снелла понятие общее, "чемоданное", в смысле она равна значению, минимизирующему сумму расстояний от объектов (оценок экспертов, в частности) до значения медианы, и зависит от того, как вводятся расстояния. Если вводятся, как расстояния Кемени (которые определены через парные сравнения), то будет одна оценка, если введены иначе - другая. В частности, если с измеримыми величинами разрешены арифметические операции, то,взяв за расстояния сумму квадратов отклонений, придём к среднему арифметическому, если сумму абсолютных величин отклонений - медиану (в обычном статистическом смысле). В данном случае ранги рассматриваются, как величины, которые можно вычитать (т.е. шкалу рангов рассматриваем, как интервальную, что допущение, но не столь ужасное...), при этом отклонения в большую и меньшую сторону рассматриваем одинаково, а одно большое отклонение (на n единиц) считаем более важным, чем много малых (n единичных, к примеру), что оправдывает использование квадратов.

[longstreet]

Евгений Машеров в сообщении #638140 писал(а):

зависит от того, как вводятся расстояния. Если вводятся, как расстояния Кемени (которые определены через парные сравнения), то будет одна оценка, если введены иначе - другая.

Да, но Кемени доказывет теорему о том, что его расстояние $d$ является единственным, удовлетворяющим следующим трём естественным аксиомам:
Аксиома 1.1 Неотрицательность.
Аксиома 1.2 Симметричность.
Аксиома 1.3 Неравенство треугольника.

Поэтому, наверное, можно считать, что только как $d$ и нужно вводить расстояние. Иначе надо указать, с какой из аксиом не согласны.

[Евгений Машеров]

longstreet в сообщении #637980 писал(а):

Интересно. Наткнулся на форум, где разбирается похожая (вроде бы) задача и одним из участников указана статья, вроде бы являющуюся решением. Пока понять, насколько она подходит, не смог.

Ссылка на статью невалидна.

-- 31 окт 2012, 10:43 --

longstreet в сообщении #638148 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #638140 писал(а):

зависит от того, как вводятся расстояния. Если вводятся, как расстояния Кемени (которые определены через парные сравнения), то будет одна оценка, если введены иначе - другая.

Да, но Кемени доказывет теорему о том, что его расстояние $d$ является единственным, удовлетворяющим следующим трём естественным аксиомам:
1) Неотрицательность.
2) Симметричность.
3) Неравенство треугольника.

Поэтому, наверное, можно считать, что только как $d$ и нужно вводить расстояние. Иначе надо указать, с какой из аксиом не согласны.

Ну, проверьте сами, что, как сумма квадратов расстояний, так и сумма абсолютных величин расстояний аксиомам метрики удовлетворяют (как и расстояние в обычном смысле). Теорему эту я не помню, но более чем уверен, что там, если утверждается единственность - то оговорено "в классе таких-то величин". В общем случае ввести расстояния, удовлетворяющие аксиомам метрики можно множеством самых разнообразных способов.

[longstreet]

У меня вот какой вопрос. А есть ли в некотором смысле универсальная характеристика разброса? Именно, в том смысле, чтобы её можно было сравнивать в разных экспериментах, не заботясь о том, чтобы число объектов в эксперименте было одно и то же (как при использовании конкордации Кендалла), не заботясь о том, чтобы число информантов было одинаковым (как в случае обычной дисперсии).

Вот даже простое среднее арифметическое - более-менее универсальное. Не зависит от числа объектов и мало зависит от числа информантов.

Евгений Машеров в сообщении #638150 писал(а):

Ну, проверьте сами, что, как сумма квадратов расстояний, так и сумма абсолютных величин расстояний аксиомам метрики удовлетворяют (как и расстояние в обычном смысле). Теорему эту я не помню, но более чем уверен, что там, если утверждается единственность - то оговорено "в классе таких-то величин".

Оёёй, прошу прощения. У Кемени четыре аксиомы, а приведённые выше входят в первую (подправил там нумерацию). Итак, первая аксиома - аксиома о том, чтобы $d$ удовлетворяло интуитивным свойствам расстояния. Далее:

Аксиома 2. Если $A'$ получается из $A$ некоторой перестановкой объектов, а $B'$ из $B$ той же самой перестановкой, то $d(A',B')=d(A,B)$.
Аксиома 3. Если два упорядочения $A$ и $B$ одинаковы всюду, за исключением $k$-элементного множества $S$, которое является сегментом их обоих, то $d(A,B)$ можно вычислить, как если бы рассматривались упорядочения только этих $k$ объектов.
Аксиома 4. Минимальное положительное расстояние равно $1$.

И далее доказывается теорема о том, что для этих аксиом $d$ Кемени - единственно возможное. Евгений Машеров, разве тут можно не согласиться с какой-нибудь из аксиом?

Евгений Машеров в сообщении #638140 писал(а):

Медиана Кемени-Снелла понятие общее, "чемоданное"

Действительно, медиана Кемени-Снелла является обобщением среднего арифметического.

[Евгений Машеров]

Ну, для начала - с аксиомой 4. Расстояние от меня до компьютера меньше 1 метра, хоть и положительно. То есть это специальный класс объектов, для которых существенна дискретность. Так что аксиома выполняется далеко не всегда (впрочем, она явно введена для нормировки)
Затем посмотрим на аксиому 3. Она означает, собственно, что мы вправе отбрасывать общую информацию, как не влияющую. Давайте рассмотрим задачу упорядочения команд по силе на основе индивидуальных матчей. Три группы команд - сильная A, интересующая нас "средняя" B (для определённости - вторая лига чемпионата по футболу РФ) и заведомо слабая C. Все команды из B проиграли всем командам А и выиграли у всех из С. Повлияет ли на нашу оценку команд в группе В то, что А это участники чемпионата мира, а С это дворовые сборные инвалидов в одном случае, или же команды из других дивизионов второй лиги во втором? Я бы полагал, что в первом случае сравнения с А и С нам ничего о силе В не говорят, надо использовать только отношения в В, а во втором - силы всех команд из В практически равны, и сравнениями в В можно и пренебречь, скорее всего они случайны. Иначе говоря, аксиома 3 задаёт очень сильное требование к данным, что мы вправе их исследовать "по частям", пренебрегая взаимодействиями.
Аксиома 2 означает, что наши входные данные - это неупорядоченное множество объектов, и информация об их упорядоченности, например, во времени, несущественна.
То есть это аксиомы, которые могут выполняться в важных случаях, но отнюдь не всегда.

[longstreet]

Я слышал, что есть простой способ вычисления $W$ через коэффициент корреляции Спирмена. Дело в том, что последний легко посчитать на компьютере -- просто потому, что он много куда встроен, в отличие от $W$. Кто ведает: где можно посмотреть эту связь, и распространяется ли она на случаи связанных рангов -- дайте знать, пожалуйста.