Коэффициент конкордации Кендалла. Откуда число 12?

[longstreet]

Формула:

$$ W=\frac{12S}{m^2\left(n^3-n\right)} $$

Откуда число $12$? Вроде ни в $S$, ни куда-то ещё ничего не запрятано...

[gris]

Вас интересует почему именно 12 или вывод формулы?
Мне кажется, что 12 выбрано для нормировки, чтобы коэффициент изменялся от 0 до 1. Чему равно максимальное значение $S$?
А вылезти оно могло, например, из формулы суммы квадратов первых натуральных чисел.

[statistonline]

Максимальная дисперсия по оценкам, к примеру, экспертов, равна
$D_{\max}=\frac{d^2(m^3-m)}{12(m-1)}$,
а коэффициент конкордации это
$W=\frac{D}{D_{max}}$
Вот там 12 и возникает

[Евгений Машеров]

0. Величина коэффициента, на который умножают, существенного значения не имеет и может быть выбрана произвольно. На вывод о том, более или менее согласованы мнения экспертов, этот коэффициент не влияет. Но для наглядности удобно выбирать его так, чтобы максимальная и минимальная степень согласованности выражалась бы легко запоминаемыми числами.
1. Наименьшая степень согласованности экспертов достигается, когда мнения разных экспертов по одному и тому же объекту расходятся в наибольшей степени, так что один ставит наибольший ранг, другой наименьший, прочие распределяют этому объекту все возможные ранги, так что средний ранг каждого объекта равен $\frac {n+1} 2$. Тогда все величины, возводимые в квадрат, равны нулю, и всё равно на что умножать. Ноль воспринимается, как естественная величина для "отсутствия согласованности".
2. Наибольшая степень согласованности возникает, если все эксперты приходят к единому упорядочению по рангам. Т.е. один объект получает средний ранг 1, второй - средний ранг 2 и т.п. до последнего со средним рангом n. Сумма квадратов отклонений ряда чисел {1,2,3...n} от среднего $\frac {n+1} 2$ будет равна $\frac {n^3-n} {12}$, что легко вывести методами исчисления конечных разностей. Поскольку довольно естественно считать, что полная согласованность выражается числом 1, как отсутствие согласованности числом 0, то вычисленную сумму квадратов отклонений делят на максимально возможную, что и даёт формулу Кендалла.
3. Таким образом, значение "12" - продукт условного выбора значений для минимальной и максимальной согласованности, а также решения назначать ранги от 1 до n, а не, скажем, от 0 до 1.

[longstreet]

Евгений Машеров в сообщении #637195 писал(а):

Ноль воспринимается, как естественная величина для "отсутствия согласованности".

Кстати, вроде чаще значения коэффициента нормируются рамками от $-1$ до $+1$ включительно. Но смысл числа 12 понял. Ещё вопросы:

1) А где можно посмотреть вывод формулы?

2) Как эту формулу правильно интерпретировать?

3) А также как быть, если несколько объектов получают один ранк? Вроде бы формулу можно подправить (как пишет Вики). Но я не понимаю как она подправляется (смысл замен).

4) Как видоизменить формулу для сравнения не двух упорядочений, а любого их количества?

[longstreet]

4-ый вопрос снимается. Т.к. в первом посте привел формулу как раз для этого случая.

[Евгений Машеров]

1. В исходной статье Кендалла
Kendall, M. G.; Babington Smith, B. (Sep 1939). "The Problem of m Rankings". The Annals of Mathematical Statistics 10 (3): 275–287
2. Какие-то вероятностные распределения с этой величиной не связаны, насколько мне известно. Так что уровни значимости и т.п. не находятся. Так что просто сравнивать - "В исследовании А коэффициент 0.7, а в исследовании В - 0.3, то есть в первом случае эксперты в большей степени пришли к общему мнению, чем во втором". Хотя, в принципе, поскольку тут сумма квадратов - можно выйти на $\chi^2$ и ввести вероятностные рассуждения.
3. Ранги связанных объектов заменяются на средний их ранг (эээ... наша команда ЧГК "16 тонн" разделила в Кубке Провинций места с 9 по 13, так что нам дали средний ранг 11). Поправка, которую предложено вводить, если многие объекты получают связанный ранг, определяется так:
$T_j=\sum ({t_i}^3-t_i)$
где суммирование проводится по всем группам объектов со связанным рангом, а $t_i$ - число объектов в группе
Затем при расчёте W из знаменателя вычитается $m\sum T_j$

[statistonline]

Евгений Машеров в сообщении #637599 писал(а):

2. Какие-то вероятностные распределения с этой величиной не связаны, насколько мне известно. Так что уровни значимости и т.п. не находятся.

Вроде бы проверка значимости проводится по $\chi^2$:
$\chi^2=Wm(n-1)$
Во всяком случае, раньше так вроде требовали проверять...

longstreet в сообщении #637459 писал(а):

1) А где можно посмотреть вывод формулы?

или http://e-science.ru/forum/index.php?s=9bb2b52b0c44c8343bac68deae2b4068&act=Attach&type=post&id=11379

[longstreet]

longstreet в сообщении #637459 писал(а):

2) Как эту формулу правильно интерпретировать?

Здесь предлагается такая вероятностная интерпретация:

Цитата:

How should the Kendall coefficient be interpreted? Because $\tau$ is based upon counting the number of different pairs between two ordered sets, its interpretation can be framed in a probabilistic context (see, e.g., Hays, 1973). Specifically, for a pair of objects taken at random, $\tau$ can be interpreted as the difference between the probability for this objects to be in the same order $[\text{denoted} P(\text{same})]$ and the probability of these objects being in a different order $[\text{denoted} P(\text{different})]$. Formally, we have:

$$ \tau=P(\text{same})-P(\text{different}) $$

[Евгений Машеров]

Это не тот Кендалл, "тау" это коэффициент ранговой корреляции. Он определён для двух рядов, а не для произвольного множества.

[longstreet]

Евгений Машеров в сообщении #637599 писал(а):

Kendall, M. G.; Babington Smith, B. (Sep 1939). "The Problem of m Rankings". The Annals of Mathematical Statistics 10 (3): 275–287

Спасибо! Кстати, вот она в свободном доступе.

-- 30.10.2012, 13:58 --

Евгений Машеров в сообщении #637673 писал(а):

Это не тот Кендалл, "тау" это коэффициент ранговой корреляции.

После длительного перерыва вернулся к этой теме (статистическая обработка), и совсем путаюсь. Мне кажется, что можно пойти двумя путями, не пойму возможны ли оба и какой лучше. Опишу задачу.

Задача. Меня интересует различие согласованности ответов двух групп людей: например, китайцев и немцев. С тем, чтобы можно было сказать, что некое представление/мнение/стереотип у кого-то из них (китайцев или немцев) закрепилось больше. Их просят оценить по какому-то качеству (например, "приятности") некоторый объект и дать ответ по пятибалльной шкале. Ответ каждого из информанта я представляю как нестрогое (т.е. различным объектам может быть приписан один и тот же балл) упорядочение. С этими упорядочениями потом и работаю.
Решение1. Внутри каждой из групп (китайской и немецкой) нахожу среднее упорядочение с помощью медианы Кемени-Снелла. Потом сравниваю два упорядочения с помощью коэффициента ранговой корреляции "тау".
Решение2. Нахожу с помощью конкордации Кендалла степень согласованности людей сначала внутри одной группы (китайцев), потом внутри второй группы (немцев). И сравниваю два числа между собой.

Как правильнее поступить: пойти по пути Решения1 или по пути Решения2?

[Евгений Машеров]

В первом случае Вы узнаете, насколько немецкий стереотип похож на китайский. Во втором - насколько стереотипны немецкий и китайский стереотипы.

[longstreet]

Иллюстрации двух путей в статьях, приведённых выше:

1. В статье Abdi (ссылка выше) степень согласованности экспертов (ранжирующих вина) определяется с помощью коэффициента ранговой корреляции "тау" $\tau$:

Цитата:

$\tau=0,67$. This large value of $\tau$ indicates that the two experts strongly agree on their evaluation of the wines.

2. В статье Kendall, Babington (ссылка выше) степень согласованности студентов (ранжирующих фотографии лиц по их интеллектуальности) определяется с помощью конкордации Кендалла $W$:

Цитата:

$W=0,2378$. This is higly significant and it is to be inferred that community of judgment exists between students.

-- 30.10.2012, 14:31 --

Евгений Машеров в сообщении #637712 писал(а):

В первом случае Вы узнаете, насколько немецкий стереотип похож на китайский. Во втором - насколько стереотипны немецкий и китайский стереотипы.

Вау! Правильно ли я перефразирую, что во втором случае (т.е. $W$) играет некоторую роль "яркости" закрепления стереотипа внутри каждой групп?

[Евгений Машеров]

W показывает, насколько ранги отдельных экспертов похожи на средний ранг по группе.

[longstreet]

А как средний ранг по группе вычисляется? Просто среднее арифметическое? (Но ведь правильно же вроде по медиане Кемени-Снелла...)