Сходимость знакочередующегося ряда

[Limit79]

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k^3+1}{3k^4+2} \cdot (-1)^k$

Применяю признак Лейбница:
а) Предел общего члена ряда стремится к нулю.
2) Не могу доказать убывание общего члена ряда, ибо получается довольно громоздкое выражение.

Есть идеи?

ps. Данный ряд получился, при исследовании степенного ряда на концах интервала.

[ewert]

Limit79 в сообщении #637959 писал(а):

Не могу доказать убывание общего члена ряда, ибо получается довольно громоздкое выражение.

Есть идеи?

Не убывание, а монотонность убывания. В данном случае она тривиальна: если приравнять к нулю производную модуля общего члена по номеру, то получится некоторое алгебраическое уравнение. Даже не важно какое именно: количество корней у него конечно -- и, значит, начиная с какого-то номера, та производная сохраняет знак, т.е. наблюдается монотонность поведения, и это уж никак не может быть монотонным возрастанием (поскольку стремление к нулю всё-таки есть).

[Limit79]

ewert
Не встречал ни разу такого доказательства.

А можно как-нибудь по-проще, другим способом? Пример довольно типичный же.

[ewert]

Limit79 в сообщении #637974 писал(а):

А можно как-нибудь по-проще, другим способом?

Вы же сами сказали, что там получается с монотонностью некоторая морока. И я в это охотно верю (хоть и не проверял), поскольку это для подобных задач действительно типично. Так какой тогда смысл искать сложный способ, который был бы при этом проще очевидного?...

[Limit79]

ewert
Я посмотрел пару классических учебников по мат. анализу, и не нашел в них того доказательства, которое привели Вы, поэтому думаю, что должно существовать более простое (читай "стандартное") решение.

Хотя да, пусть оно будет более сложное, но "стандартное".

-- 30.10.2012, 22:47 --

Вам безусловно спасибо, если не удастся найти более стандартное решение, воспользуюсь Вашим вариантом.

[gris]

Через разность. Чего там сложного? Шестая степень рано или поздно обгонит пятую с любым коэффициентом.
Хотя и так видно, что знаменатель растёт быстрее числителя.

[ewert]

Limit79 в сообщении #637981 писал(а):

Я посмотрел пару классических учебников по мат. анализу, и не нашел в них того доказательства, которое привели Вы, поэтому думаю, что должно существовать более простое (читай "стандартное") решение.

На классических учебниках свет клином не сошёлся, иногда и думать полезно. В конце-то концов: Вам нужно шашечки -- или Вам нужно ехать?...

[Limit79]

gris
А откуда вы взяли шестую и пятую степени?

ewert
Мне нужно, чтобы пример был зачтен преподавателем, поэтому и нужно более классическое решение, которое я сам смогу обосновать.

[ewert]

Limit79 в сообщении #637987 писал(а):

нужно более классическое решение, которое я сам смогу обосновать.

Так и обоснуйте.

Производные у вас уже были? -- наверняка были: давать ряд перед производными -- явное уродство; да в конце-то концов, они у вас в школе были.

Монотонность по целочисленному аргументу является частным случаем монотонности по вещественному? -- безусловно.

Конечность количества корней многочлена была? -- ну это вообще деццкий факт, следствие теоремы Безу.

Так чего ещё и нужно?...

[gris]

$(2k^3+1)(3(k+1)^4+2)-(2(k+1)^3+1)(3k^4+2)=?$
Кстати, преподаватель может ещё и обидеться на Безу и прочие умности .

[Limit79]

ewert
тем не менее получается несколько нестандартное доказательство :)

gris
Вы взяли неравенство в признаке Лейбница за равенство, перемножили члены пропорции, а о чем нам будет говорить знак данного выражения?

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #637994 писал(а):

преподаватель может ещё и обидеться на Безу и прочие умности .

Он да, может, среди преподов ещё какие заразы встречаются.

Он может потребовать доказать монотонность типа якобы "честно". Не обращая внимания на то, что "честность", принятая в его опчестве, откровенно противоречит идейности решения. И что идейность решения (при наличии строгости, конечно) гораздо важнее принятых у него правил игры в бисер.

[gris]

Нет, я взял числитель разности k-того и следующего члена ряда. Знаменатель больше нуля. Я хочу показать, что начиная с некоторого номера эта разность будет положительной.
Хотя "идейное" решение, разумеется, и красивее, и полезнее, да и красноречивее упражнений в аккуратности раскрытия скобок.

[Limit79]

gris в сообщении #638000 писал(а):

что начиная с некоторого номера эта разность будет положительной

Так неравенство $a_{k} > a_{k+1}$ должно же выполняться для каждого $k$, начиная с первого.

-- 30.10.2012, 23:24 --

gris в сообщении #637994 писал(а):

$(2k^3+1)(3(k+1)^4+2)-(2(k+1)^3+1)(3k^4+2)=?$.

А почему таки шестая и пятая степень? Здесь же старшая - седьмая. у обоих.

[gris]

Первые несколько миллиардов членов ряда не влияют на его сходимость.
Седьмая сокращается. Да и шестая тоже, правда, немного по-другому.