Случайные процессы

[adina55]

Задача
Автомобили при въезде на автостраду выбирают постоянную скорость v_i с вероятностью p_i, p_{1} + ... + p_{n}=1. Поток автомобилей является пуассоновским с параметром \lambda.
1) Какое распределение имеет число автомобилей на интервале (a,b) в момент времени t\geqslant 0?
2) Найти среднее число автомобилей на промежутке (a,b) в момент времени t>max(b/v_{i}), i=1, ..., n.

Помогите, пожалуйста, разобраться.
Мои рассуждения
Пусть автомобиль въезжает на автостраду в момент t_0, тогда для того чтобы он был причислен к автомобилям, оказавшимся на интервале (a,b) в момент времени t\geqslant t_0, его скорость должна быть в интервале (a/(t-t_0),b/(t-t_0)). Вероятность этого события равна P(t,t_{0})=P(v<b/(t-t_0))-P(v<a/(t-t_0)). Тогда распределение числа автомобилей есть Пуассоновское с параметром
$\lambda \int\limits_{0}^{t} P(t,t_{0}) dt_{0}$. Это правильно? Как поступить со второй частью? Идея, вероятно, должна быть такая же, только я пока не могу понять, что делать.

[PAV]

Я бы советовал поступить так. Сначала докажите, что если "разветвить" пуассоновский поток на $n$ других потоков, относя каждое новое событие к потоку $i$ с вероятностью $p_i$, то все получившиеся потоки будут также пуассоновскими (и найдите их интенсивности). Тем самым можно отдельно рассматривать потоки машин с одинаковыми скоростями.

Далее, для каждой из имеющихся скоростей найдите интервал, в который машина с этой скоростью должна выехать на трассу, чтобы в заданный момент времени $t$ оказаться в интервале $(a,b)$. На самом деле положение этого интервала неважно, важна только длина (так как потоки стационарные).

Случайная величина, равная числу машин, которые выехали на автостраду в соответствующий интервал, распределена по Пуассону с соответствующим параметром (равным интенсивности соответствующего потока умножить на длину соответствующего интервала). Та величина, которая Вам нужна, равна сумме указанных по всем $n$ скоростям. Слагаемые независимы. Сумма распределений Пуассона дает также распределение Пуассона... в общем, там все считается. Никаких интегралов тут вроде как возникнуть не должно.

Добавлено спустя 13 минут 40 секунд:

Только рекомендую не забыть доказать, что полученные после разбиения потоки действительно будут независимыми. Это можно сделать только для двух потоков, далее по индукции. Это достаточно простое упражнение (в одну строчку), но полезное для понимания.

Впрочем, задачу можно решить и без апелляции к независимости. Но для этого придется рассмотреть общий случай, когда некоторые из интервалов могут пересекаться. Тогда их нужно разбить на непересекающиеся, на каждом из которых нас интересует некоторое подмножество скоростей из всех $n$ возможных.

[adina55]

Просто я использовала 2 теоремы, доказанные на лекции:
1) Если каждое событие пуассоновского процесса независимо классифицируется как событие первого типа с вероятностью p и как событие второго типа с вероятностью 1-p, тогда процессы типа 1 и типа 2 являются независимыми пуассоновскими процессами с параметрами \lambda p и \lambda (1-p) соответственно.
2) Пусть существует k типов событий и если событие случается в момент времени y, то оно будет классифицировано как событие i-ого типа с вероятностью P_{i}(y). Если при этом N_{i}(t) - это число событий i-ого типа, случившихся к моменту времени t, то N_{i}(t) независимы и имеют пуассоновское распределение с параметром \lambda\int\limits_{0}^{t} P_{i}(y) dy.
Вы считаете, что здесь нельзя пользоваться теоремой №2?

[PAV]

Именно этими результатами нужно пользоваться. Просто Ваша теорема 2 сформулирована в более общей ситуации, когда вероятности отнесения к классам зависят от времени. В задаче же они постоянны и эта теорема приводит к такому же результату, что и предложенное мной решение.

[adina55]

Я попробовала считать, как Вы сказали. Интервал времени, в который нужно выехать, чтобы в момент времени t быть на (a,b) есть (t-(b-a)/v_{i},t). Тогда, суммируя, получаем N=\lambda (b-a) (\frac {p_{1}} {v_{1}}+...+\frac {p_{n}} {v_{n}}).. Но в ответе в таком случае t не фигурирует? Или я не так поняла?

[PAV]

И не должно фигурировать, поскольку наш процесс стационарный и его характеристики не меняются со временем. Сдвиг момента $t$ приводит к соответствующим сдвигам отрезков времени, в которые автомобиль должен въехать на автостраду. Но в силу стационарности распределение числа въехавших машин при сдвигах не меняется.