Обоснование классической механики.

[EvgenyGR]

Динамическую систему с.м.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%BC%D0%B0
можно описывать как поток или как каскад. Классическая механика описывает механическую систему как поток, но в опыте мы можем наблюдать только каскад. А это значит, что обосновать механику только на основе обобщения опыта (без домыслов о непрерывности), мы можем только поняв какими свойствами должна обладать динамическая система заданная как каскад, чтобы ее траектории хорошо приближались траекториями получаемыми из классической механики. И только потом мы можем высказать предположение, домыслить, что на самом деле наблюдаемая нами как каскад механическая система является потоком.
И так оставим модель точечных масс (или абсолютно твердых тел), а вот от непрерывность координат, времени постараемся избавиться. Придется избавиться и от скорости (конструкции использующей в своем определении непрерывность времени). Как это можно сделать? Для начала надо как-то описать механическую систему и ее наблюдение. Так как в дальнейших рассуждениях нам потребуется понятие малого, необходимо сразу оговорить, что численные значения степеней свободы (координаты) изменяются по абсолютному значению в пределах некоторого интервала – характерного размера. Пусть некоторые величины изменяются в пределах гораздо меньшего интервала, но все же не слишком малого так, что характерный размер для всех величин будет одинаковым. Все наши наблюдения над физической системой проводятся в течении какого-то «разумно большого» интервала времени , а под малым интервалом времени $\Delta t$ будет пониматься интервал времени за который изменения всех наблюдаемых величин (координат) будут малы относительно характерного размера. Если задуматься то сама возможность существования такого $\Delta t$, уже представляет некую гипотезу. Пусть так и будет, назовем это Первой гипотезой.

Как можно описать переход системы из одного состояния в другое. Опыт говорит нам, что правдоподобный выглядит следующая схема: мы знаем все координаты в некий момент времени $t_0$ и в момент $t_0+ \Delta t$, тогда значения координат в момент времени $t_0 + 2\Delta t$ , будут однозначно определены. Это обобщение опыта назовем Второй гипотезой (гипотеза детерминированности). Иными словами :

$F(X_1,X_2 )= X_3$

Где $X_1, X_2, X_3$ – координаты в моменты времени $t_0, t_0+ \Delta t$ и $t_0 + 2\Delta t$ соответственно, а $F(x,y)$ некоторая функция . Будем предполагать, что выбранный интервал времени $\Delta t$ в дальнейшим будет постоянен, т.е. все наблюдаемые состояния всегда отстоят друг от друга на этот малый, но разумно малый интервал времени. Из Первой гипотезы следует, что $\Delta _1 =X_1-X_2 $ и $\Delta _2=X_3- X_2$ малые величины порядка $\Delta t$. Введем Третью гипотезу (гипотеза инертности) обобщающую опыт: $\Delta _1+\Delta _2$ порядка $ \Delta t^2$ , т.е. малая в квадрате. Четвертая гипотеза (гипотеза обратимости тоже следует из опыта), если

$ F(X_1,X_2 )= X_3$ (1)
то
$F(X_3,X_2 )= X_1$ (2)

Пятая гипотеза существует функции $F_1 (X_2) )$ и $f(X_2)$ порядка характерной величины , такие, что

$F(X_1,X_2 )=F(X_2,X_2 ) + F_1\Delta _1+ f(X_2) \Delta t^2 + O(\Delta _1 ^3 ) $ (3)

Эту гипотезу так же можно считать обобщением опыта, она фиксирует тот факт, что последующие состояние классической механической системы с точностью до малых более высокого порядка определяется текущей координатой и скоростью , т.е. предыдущее значение координаты с точностью до малых более высокого порядка учитывается только линейно. Подставляя (3) в (1), (2) и опуская малое второго порядка имеем:
$F(X_2,X_2 )+ F_1(X_2)\Delta _1 + O(\Delta t^2 ) = X_2+ \Delta _2$ (4)
$F(X_2,X_2 )+ F_1(X_2)\Delta _2+ O(\Delta t^2 ) = X_2+ \Delta _1$ (5)

Складывая (4) и (5) имеем:

$2F(X_2,X_2 )+ F_1(X_2)(\Delta _1+\Delta _2 )+ O(\Delta t^2 ) =2X_2+ (\Delta _1+\Delta _2 )$

Используя Третью гипотезу $F(X_2,X_2 )= X_2+ O(\Delta t^2)$ (6)

Перепишем еще раз (1) , (2) используя (3), (6) и пренебрегая малыми второго порядка

$X_2+ F_1(X_2)\Delta _1 + O(\Delta t^2) = X_3$ (7)
$X_2+ F_1(X_2)\Delta _2 + O(\Delta t^2) = X_1$ (8)

Складывая (7) и (8) и используя Третью гипотезу имеем:

$X_1- 2X_2+ X_3=\Delta t^2f'$(9)

Где в $f'$ собраны все малые второго порядка, что можно сделать на основании (3). Если поделить правую и левую часть на $\Delta t^2$ . Справа получим величину порядка характерного размера, а слева разностную схему для второй производной по времени от координаты.
Поставим теперь задачу по-другому. Допустим нам известны значения всех координат $X_0$ некоторой механической системы в момент времени, $t_0$ и значения всех координат $X_(n+1)$ в некий конечный момент. Тогда промежуточные значения координат мы можем найти как решение системы уравнений

$X_0 - 2X_1+ X_2=\Delta t^2f' (X_1)$
$X_1 - 2X_2+ X_3=\Delta t^2f' (X_2)$
$X_2 - 2X_3+ X_4=\Delta t^2f' (X_3)$ (10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
$X_(n-1) - 2X_n+ X_(n+1)=\Delta t^2f' (X_n)$

Для простоты изложения будем дальше считать, что механическая система имеет только одну степень свободы (обобщение на многие степени свободы не составляет труда). Введем еще одно предположение, функция $f' (X)$ такая, что существует некая функция $U(X)$, такая что: $f' (X) = \frac {\partial} {\partial X} U(X)$ , тогда $i$ – тое уравнение системы (10) может быть получено как частная производная по $X_i$, от следующего выражения:

$(X_1-X_0)^2+ (X_2-X_1)^2+(X_3-X_2)^2+ … +(X_(n+1)-X_n)^2 - 2\sum_{i=1}^{n}{U(X_i)}\Delta t^2 $ (11)
Обозначим $X(i+1)-X_i=V_i\Delta t$ , что можно сделать на основании Первой гипотезы, причем $V_i$ имеет порядок характерного размера, сокращаем лишнее $\Delta t$, и получим конструкцию, напоминающую интегральную сумму.

И вот только теперь сделав предположение о непрерывности координаты по времени (точнее, что истинная траектория достаточно хорошо, на рассматриваемом интервале времени, приближается некой непрерывной траекторией), и переходя к пределу $ \Delta t -> 0$ , получим из (9) известный закон Ньютона, а из (11) принцип наименьшего действия.

[myhand]

EvgenyGR в сообщении #422010 писал(а):

Динамическую систему можно описывать как поток или как каскад.

Не читайте советских газетрусской википедии!

EvgenyGR в сообщении #422010 писал(а):

Классическая механика описывает механическую систему как поток, но в опыте мы можем наблюдать только каскад.

Нет никаких "каскадов" - есть дискретные отображения (последовательности отображений, точнее). Динамические системы с дискретным временем, если хотите.

Ни в каком "опыте" мы не "можем наблюдать только каскад" - это всего только значит, что опытов Вы отродясь не делали. Если Вы про то, что в опыте мы получаем как результат измерений в дискретный момент времени - конечномерный вектор, компоненты которого рациональные числа, то это не так. Результат измерения описывается куда более сложными понятиями. Например, повторив тот же самый опыт - Вы получите совершенно другой набор чисел. Всему этому учат еще на первом курсе физфака.

EvgenyGR в сообщении #422010 писал(а):

получим из (9) известный закон Ньютона

Я не вижу в (9) "известный закон Ньютона" (где масса, где сила?). И уж тем более, не вижу в (11) "принципа наименьшего действия". Кто-то еще их там кроме EvgenyGR видит?

[EvgenyGR]

По массе.
Для многих степеней свободы нужно дополнительно предположить, что существуют такие $ m_i $ , что $ f’_i = \frac{1}{\ m_i} \frac{\partial }{\partial x_i} U(X) $
Частная производная берется по степени свободы.

whiterussian:

Поправила ваши формулы на предмет звездочек. Запомните - умножение обозначается точкой или вообще никак!

[Nymos]

Из текста автора темы, можно понять, как он формирует заказ на состав исходной информации, ориентируясь на метод ее последующей обработки. Но вот вопрос: в достаточной ли степени математик представляет себе данное физическое явление, чтобы заказанная им информация достаточно полно его отражала.
Вот схема, которой, как мне кажется, пользовался бы физик в данной ситуации. За основу взята импульсно-инерционная кинематическая модель движения, которую И.Ньютон применил для доказательства теоремы1 (Principia, кн.1,отд.2).
Рассмотрим простейший случай. Пусть некий твердый кубик приводится в движение другим предметом, путем динамического воздействия на одну из его граней (точка 1) в направлении противоположной грани (точка 2).
Из наблюдений нам известно (например, Канель Г. И., Фортов В. Е., Разоренов С. В. "Ударные волны в физике конденсированного состояния" УФН 177 809–830 (2007) http://ufn.ru/ru/articles/2007/8/a/), что с началом динамического воздействия т.1 начинает перемещаться в направлении т.2, которая, в течение некоторого времени $\Delta\tau(1)$, остается неподвижной. В этот период происходит сжатие кубика и нарастание динамического воздействия на него.
Затем, когда т.2 приходит в движение, расстояние между точками начинает увеличиваться в течение некоторого времени $\Delta\tau(2)$. Кубик растягивается, а сила, действующая на него – уменьшается.
Наконец, т.1 отрывается от источника динамического воздействия, и весь кубик начинает двигаться по инерции, периодически сжимаясь и растягиваясь.
Если кинематический источник движется с постоянной скоростью, то, впоследствии он не догонит кубик, который так и продолжит инерционно двигаться. Если же источник движется ускоренно, то он догонит кубик и кинематический процесс повториться.
Следует отметить, что здесь представлена упрощенная схема взаимодействия. В частности, во второй фазе мы не указали, что т.2, начав перемещаться в сторону от т.1, может остановиться, или даже обратить свое движение, вследствие поперечного растяжения кубика.
Если обозначить координату символом x, а ее производную по времени - x', то перемещения граней кубика в процессе взаимодействия предположительно можно записать в виде

x(1) = x(1,0) + x(1)' \Delta t + x(1)’’ \Delta t^2/2! + x(1)’’’ \Delta t^3/3! …

x(2) = x(2,0) + x(2)' \Delta t + x(2)’’ \Delta t^2/2! + x(2)’’’ \Delta t^3/3! …

где $\Delta t \sim l/c = l \sqrt{\rho/E}$, с; с – скорость распространения сжатия (растяжения), м/с; Е – модуль упругости, $H/m^2$; $\rho$ , $kg/m^3$; $l = (x(2,0) - x(1,0)) $ – расстояние между гранями (1) и (2) недеформированного кубика, м.

Или, в виде «брутто» формулы, усредняя (<…>) по всем фазам одного полного цикла взаимодействия

$F = <(x(1) - x(2) + l)/l.E.S> =<m.(x’’ + k(1).l/c x’’’ + …)>$

где F – сила, Н; $S.l.\rho = m$ - масса кубика, кг; S – площадь грани, $m^2.$
Все фазы описанного выше процесса можно наблюдать непосредственно, осторожно толкая мыльный пузырь, парящий в воздухе. Колебания же твердого тела можно наблюдать в характерном рисунке вихревой дорожки за ускоренно движущейся пластиной ( М.Ван-Дайк, Альбом течений, фиг.81).
Очевидно, что при подготовке приемлемой схемы для механического движения, пришлось отказаться от парадигмы сугубо внешнего его описания в форме динамики одной материальной точки. При этом, следовало конкретизировать понятия сила, масса и перемещение. А также то, что, собственно, соответствует этим понятиям в наблюдениях.
Далее, важно отметить, что существует фаза взаимодействия, в продолжение которой кинематический источник не управляет движением испытуемого тела. В течение этого относительно малого, но все же конечного, промежутка времени, кубик движется по инерции.
Следовательно, если источник движения меняет направление своего действия, то кубик перемещается не по «брутто» траектории, а вдоль отрезков прямых линий, которые названная траектория просто ограничивает.
Это расхождение можно записать в форме соотношения неопределенности, как площадь треугольника, образованного двумя последовательными векторами скорости и соответствующим вектором перемещения.
Еще одно, весьма важное обстоятельство. Имеются основания ожидать, что упругие свойства материала кубика, его размеры и абсолютная величина силы могут отразиться в «брутто» уравнении механического движения (например, в форме коэффициента динамичности). Они повлияют на от, как быстро, и сходится ли вообще, соответствующий ряд.
Возможно, что уравнения кинематики внешнего движения не являются, вообще говоря, самодостаточными с физической точки зрения.
Спасибо.