Динамическую систему с.м.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0% ... 0%BC%D0%B0можно описывать как поток или как каскад. Классическая механика описывает механическую систему как поток, но в опыте мы можем наблюдать только каскад. А это значит, что обосновать механику только на основе обобщения опыта (без домыслов о непрерывности), мы можем только поняв какими свойствами должна обладать динамическая система заданная как каскад, чтобы ее траектории хорошо приближались траекториями получаемыми из классической механики. И только потом мы можем высказать предположение, домыслить, что на самом деле наблюдаемая нами как каскад механическая система является потоком.
И так оставим модель точечных масс (или абсолютно твердых тел), а вот от непрерывность координат, времени постараемся избавиться. Придется избавиться и от скорости (конструкции использующей в своем определении непрерывность времени). Как это можно сделать? Для начала надо как-то описать механическую систему и ее наблюдение. Так как в дальнейших рассуждениях нам потребуется понятие малого, необходимо сразу оговорить, что численные значения степеней свободы (координаты) изменяются по абсолютному значению в пределах некоторого интервала – характерного размера. Пусть некоторые величины изменяются в пределах гораздо меньшего интервала, но все же не слишком малого так, что характерный размер для всех величин будет одинаковым. Все наши наблюдения над физической системой проводятся в течении какого-то «разумно большого» интервала времени , а под малым интервалом времени

будет пониматься интервал времени за который изменения всех наблюдаемых величин (координат) будут малы относительно характерного размера. Если задуматься то сама возможность существования такого

, уже представляет некую гипотезу. Пусть так и будет, назовем это Первой гипотезой.
Как можно описать переход системы из одного состояния в другое. Опыт говорит нам, что правдоподобный выглядит следующая схема: мы знаем все координаты в некий момент времени

и в момент

, тогда значения координат в момент времени

, будут однозначно определены. Это обобщение опыта назовем Второй гипотезой (гипотеза детерминированности). Иными словами :
Где

– координаты в моменты времени

и

соответственно, а

некоторая функция . Будем предполагать, что выбранный интервал времени

в дальнейшим будет постоянен, т.е. все наблюдаемые состояния всегда отстоят друг от друга на этот малый, но разумно малый интервал времени. Из Первой гипотезы следует, что

и

малые величины порядка

. Введем Третью гипотезу (гипотеза инертности) обобщающую опыт:

порядка

, т.е. малая в квадрате. Четвертая гипотеза (гипотеза обратимости тоже следует из опыта), если

(1)
то

(2)
Пятая гипотеза существует функции

и

порядка характерной величины , такие, что

(3)
Эту гипотезу так же можно считать обобщением опыта, она фиксирует тот факт, что последующие состояние классической механической системы с точностью до малых более высокого порядка определяется текущей координатой и скоростью , т.е. предыдущее значение координаты с точностью до малых более высокого порядка учитывается только линейно. Подставляя (3) в (1), (2) и опуская малое второго порядка имеем:

(4)

(5)
Складывая (4) и (5) имеем:

Используя Третью гипотезу

(6)
Перепишем еще раз (1) , (2) используя (3), (6) и пренебрегая малыми второго порядка

(7)

(8)
Складывая (7) и (8) и используя Третью гипотезу имеем:

(9)
Где в

собраны все малые второго порядка, что можно сделать на основании (3). Если поделить правую и левую часть на

. Справа получим величину порядка характерного размера, а слева разностную схему для второй производной по времени от координаты.
Поставим теперь задачу по-другому. Допустим нам известны значения всех координат

некоторой механической системы в момент времени,

и значения всех координат

в некий конечный момент. Тогда промежуточные значения координат мы можем найти как решение системы уравнений

(10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Для простоты изложения будем дальше считать, что механическая система имеет только одну степень свободы (обобщение на многие степени свободы не составляет труда). Введем еще одно предположение, функция

такая, что существует некая функция

, такая что:

, тогда

– тое уравнение системы (10) может быть получено как частная производная по

, от следующего выражения:

(11)
Обозначим

, что можно сделать на основании Первой гипотезы, причем

имеет порядок характерного размера, сокращаем лишнее

, и получим конструкцию, напоминающую интегральную сумму.
И вот только теперь сделав предположение о непрерывности координаты по времени (точнее, что истинная траектория достаточно хорошо, на рассматриваемом интервале времени, приближается некой непрерывной траекторией), и переходя к пределу

, получим из (9) известный закон Ньютона, а из (11) принцип наименьшего действия.