2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное решение нелинейной системы неравенств
Сообщение28.10.2012, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Дана нелинейная система неравенств
$$\[\left\{ \begin{gathered}
  {g_1}\left( x \right) > 0 \hfill \\
  {g_2}\left( x \right) > 0 \hfill \\
  ... \hfill \\
  {g_m}\left( x \right) > 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$$
и условия в виде равенств (очень простые и линейные)
$$\[\left\{ \begin{gathered}
  {h_1}\left( x \right) = 0 \hfill \\
  {h_2}\left( x \right) = 0 \hfill \\
  ... \hfill \\
  {h_k}\left( x \right) = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\]$$
где $\[x \in {\mathbb{R}^n}\]$, $\[n > m > k\]$, все функции $\[{g_i}\left( x \right)\]$ и $\[{h_j}\left( x \right)\]$ бесконечно дифференцируемые по всем аргументам. Задача: найти решение данной системы неравенств с данными условиями в виде равенств.

Существуют ли какие-либо методы/способы численного решения такой задачи? Интересует получение решения хоть в каком-то виде, желательно всего, а не части. Но если метод позволяет найти часть решения (в виде континуального множества, а не отдельных точек) -- тоже хорошо.

Возможно, задачу можно свести к оптимизации некоторой функции со штрафами, по решению которой уже можно будет что-то определенное говорить о множестве решений исходной задачи. Но я оптимизацией не занимаюсь и поэтому прошу подсказок и помощи...

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение нелинейной системы неравенств
Сообщение28.10.2012, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
ShMaxG в сообщении #636964 писал(а):
Возможно, задачу можно свести к оптимизации некоторой функции

Можете минимизировать сумму квадратов левых частей неравенств и равенств.
ShMaxG в сообщении #636964 писал(а):
желательно всего, а не части

А в каком виде представить всё решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение нелинейной системы неравенств
Сообщение28.10.2012, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
мат-ламер в сообщении #637045 писал(а):
А в каком виде представить всё решение?

Хоть в каком-нибудь :-) Ну чтобы ясно было, что вот на таком интервале этих параметров и таком-то интервале вот этих неравенства и равенства выполнены.

мат-ламер в сообщении #637045 писал(а):
Можете минимизировать сумму квадратов левых частей неравенств и равенств.

Мне пока не очень ясно, как отсюда можно будет построить уже решение систем...

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение нелинейной системы неравенств
Сообщение29.10.2012, 17:09 
Аватара пользователя


09/08/11
137
СПб
В общем случае решение ожидается как некоторая $(n-k)$-мерная область в $\mathbb{R}^n$, ограниченная $m$ гладкими границами.
Не очень понял в каком виде вы хотели бы описать такую область численно. В виде некоторого множества точек из достаточно плотной сетки? Но это может потребовать слишком большого количества точек. Или вы подразумеваете какой-то другой способ численного описания области - может быть приближенное $(n-k)$-параметрическое аналитическое описание или еще что-то?
Можете проиллюстрировать желательную форму ответа на примере численного описания множества $$\left\{ \begin{align}&x^2+y^2+z^2< 1,\\
&x> 0,\\
& y> 0\\
&z=0, \end{align}
\right.$$ которое геометрически совершенно очевидно (двумерная область - четверть круга)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение нелинейной системы неравенств
Сообщение29.10.2012, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
AlexValk в сообщении #637399 писал(а):
Не очень понял в каком виде вы хотели бы описать такую область численно.

Например, пусть численно получены некоторые интервалы для каждой переменной, которые образуют хотя бы часть решения.
AlexValk в сообщении #637399 писал(а):
В виде некоторого множества точек из достаточно плотной сетки?

Нет, интересуют именно интервалы, континуальные множества.
AlexValk в сообщении #637399 писал(а):
Можете проиллюстрировать желательную форму ответа на примере численного описания множества

Например, желаемый численный метод на данном примере мог бы выдавать некоторые границы для каждой переменной (например, для икс: $0$ и $1/2$, то же для игрека, $z=0$). Далее, численный метод определял бы (каким-то образом), что множество ограниченное этими областями входит в решение. Пусть он найдет не все, но хоть что-то. Я вот думаю, вообще возможно ли это в боле-менее общем случае?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group