Численное решение нелинейной системы неравенств

[ShMaxG]

Дана нелинейная система неравенств

$$\[\left\{ \begin{gathered} {g_1}\left( x \right) > 0 \hfill \\ {g_2}\left( x \right) > 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {g_m}\left( x \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

и условия в виде равенств (очень простые и линейные)

$$\[\left\{ \begin{gathered} {h_1}\left( x \right) = 0 \hfill \\ {h_2}\left( x \right) = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {h_k}\left( x \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

где $\[x \in {\mathbb{R}^n}\]$, $\[n > m > k\]$, все функции $\[{g_i}\left( x \right)\]$ и $\[{h_j}\left( x \right)\]$ бесконечно дифференцируемые по всем аргументам. Задача: найти решение данной системы неравенств с данными условиями в виде равенств.

Существуют ли какие-либо методы/способы численного решения такой задачи? Интересует получение решения хоть в каком-то виде, желательно всего, а не части. Но если метод позволяет найти часть решения (в виде континуального множества, а не отдельных точек) -- тоже хорошо.

Возможно, задачу можно свести к оптимизации некоторой функции со штрафами, по решению которой уже можно будет что-то определенное говорить о множестве решений исходной задачи. Но я оптимизацией не занимаюсь и поэтому прошу подсказок и помощи...

[мат-ламер]

ShMaxG в сообщении #636964 писал(а):

Возможно, задачу можно свести к оптимизации некоторой функции

Можете минимизировать сумму квадратов левых частей неравенств и равенств.

ShMaxG в сообщении #636964 писал(а):

желательно всего, а не части

А в каком виде представить всё решение?

[ShMaxG]

мат-ламер в сообщении #637045 писал(а):

А в каком виде представить всё решение?

Хоть в каком-нибудь Ну чтобы ясно было, что вот на таком интервале этих параметров и таком-то интервале вот этих неравенства и равенства выполнены.

мат-ламер в сообщении #637045 писал(а):

Можете минимизировать сумму квадратов левых частей неравенств и равенств.

Мне пока не очень ясно, как отсюда можно будет построить уже решение систем...

[AlexValk]

В общем случае решение ожидается как некоторая $(n-k)$-мерная область в $\mathbb{R}^n$, ограниченная $m$ гладкими границами.
Не очень понял в каком виде вы хотели бы описать такую область численно. В виде некоторого множества точек из достаточно плотной сетки? Но это может потребовать слишком большого количества точек. Или вы подразумеваете какой-то другой способ численного описания области - может быть приближенное $(n-k)$-параметрическое аналитическое описание или еще что-то?
Можете проиллюстрировать желательную форму ответа на примере численного описания множества

$$\left\{ \begin{align}&x^2+y^2+z^2< 1,\\ &x> 0,\\ & y> 0\\ &z=0, \end{align} \right.$$

которое геометрически совершенно очевидно (двумерная область - четверть круга)?

[ShMaxG]

AlexValk в сообщении #637399 писал(а):

Не очень понял в каком виде вы хотели бы описать такую область численно.

Например, пусть численно получены некоторые интервалы для каждой переменной, которые образуют хотя бы часть решения.

AlexValk в сообщении #637399 писал(а):

В виде некоторого множества точек из достаточно плотной сетки?

Нет, интересуют именно интервалы, континуальные множества.

AlexValk в сообщении #637399 писал(а):

Можете проиллюстрировать желательную форму ответа на примере численного описания множества

Например, желаемый численный метод на данном примере мог бы выдавать некоторые границы для каждой переменной (например, для икс: $0$ и $1/2$, то же для игрека, $z=0$). Далее, численный метод определял бы (каким-то образом), что множество ограниченное этими областями входит в решение. Пусть он найдет не все, но хоть что-то. Я вот думаю, вообще возможно ли это в боле-менее общем случае?