Дифференцируемая функция

[RIP]

Я заметил Хотел потихоньку удалить своё сообщение, да не успел.

[Genrih]

Genrih писал(а):

Сам я застрял на идее показать, что производная пробегает все промежуточные значения от нуля до единицы.

По Лагранжу $\exists \xi \in (0,1): f'(\xi) = 1$. Функция $f(x)$ непрерывна, т.е. достигает максимальное и минимальное значение на интервале, что ведет к существованию точек $\xi_1, \xi_2: f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$. Естественно, производная пробегает все значения в интевале $[0,1]$. Это мало помогает однако.

[Dandan]

Genrih писал(а):

Функция $f(x)$ непрерывна, т.е. достигает максимальное и минимальное значение на интервале, что ведет к существованию точек $\xi_1, \xi_2: f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0$. Естественно, производная пробегает все значения в интевале $[0,1]$. Это мало помогает однако.

ну здрасьте, f(x) может достигать максимума и минимума на концах интервала, тогда таких точек, что производная равна 0 не существует. Да и вообще, такие задачи неплохо начинать решать с рассматривания примеров. Для f(x)=x производная всюду на интервале равна 1.

[Genrih]

Dandan писал(а):

ну здрасьте, f(x) может достигать максимума и минимума на концах интервала, тогда таких точек, что производная равна 0 не существует

Мне ничего не мешает непрерывно продолжить функцию, сохранив экстремальные значения.
Случай с $f(x)=x$ можно и вручную рассмотреть.

[Скорцонер]

Можно еще так.
Если обозначить g(x) = 1/f’(x) – 1, то условие задачи требует выполнения
1). k1*g(x1) + k2*g(x2) = 0,
т.е. ортогональности векторов k = (k1, k2) и g = (g(x1), g(x2)).
Если f гладкая нелинейная, то при заданных условиях существует точка x0 внутри единичного отрезка, в которой выполняется условие f(x0) = max |f(x) – x|. Тогда в ней производная f’(x0) = 1 и существует окрестность Х0 точки х0, которую f’ отображает в некоторую окрестность единицы. Следовательно
2). g(x) отображает Х0 в некоторую окрестность нуля G0,
и вектор g в окрестности нуля G = G0*G0 может принимать любое направление. Поэтому в (Х0 * Х0) существует непрерывный прообраз пересечения прямой 1) с окрестностью G. Если предположить, что решение x1 = x2 = x будет единственным, то из 1) следует, что тогда g(x) = g(x1) = g(x2) = 0 тождественно в области Х0, что противоречит 2).