2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26  След.
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.10.2012, 07:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Блин
vicvolf в сообщении #634795 писал(а):
$dm=p_n-p_{n-1}$
я вот это условие проморгал.
Тогда так: берем последовательность $1;3;7;17;27;43;67$, для нее правый край $24;8;2;4;4;2$, $I=6$, а для $1;3;7;17;27;43;69$ правый край $26;10;4;2;2;0$ (3-й элемент стал больше) и $I=4<6$. Так что
vicvolf в сообщении #634795 писал(а):
Лемма
... тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).
вообще неверна: $dm$ изменилось с $24$ до $26$, а $I$ упал с $6$ до $2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.10.2012, 10:22 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #635946 писал(а):
Блин
vicvolf в сообщении #634795 писал(а):
$dm=p_n-p_{n-1}$
я вот это условие проморгал.
Тогда так: берем последовательность $1;3;7;17;27;43;67$, для нее правый край $24;8;2;4;4;2$, $I=6$, а для $1;3;7;17;27;43;69$ правый край $26;10;4;2;2;0$ (3-й элемент стал больше) и $I=4<6$

Так и знал, что если не прошел пример на отрицательную разность в первой строке, то последует пример на отрицательную разность в строке ниже. Но котрпример не совсем удачен, так как исходный треугольник расходится.
1 3 7 17 27 43 67
2 4 10 10 16 24
2 6 0 6 8
4 6 6 2
2 0 4
2 4
2
Условие сходимости исходного треугольника надо включить в условие леммы.
Если сделать исходный треугольник сходящимся:
1 3 7 15 23 37 61
2 4 8 8 14 24
2 4 0 6 10
2 4 6 4
2 2 2
НСИС=4
и добавить 2:
1 3 7 15 23 37 63
2 4 8 8 14 26
2 4 0 6 12
2 4 6 6
2 2 0
НСИС=4
При наличии отрицательной разности номер НСИС не строго возрастает и поэтому тем более меньше dm.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.10.2012, 11:11 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #635978 писал(а):
Но котрпример не совсем удачен, так как исходный треугольник расходится.
vicvolf в сообщении #635978 писал(а):
Условие сходимости исходного треугольника надо включить в условие леммы.
Очевидно, что это бесполезно. Допишите тогда к последовательности $1;3;7;17;27;43;67$ член $-1$: для последовательности $-1;1;3;7;17;27;43;67$ получите все то же самое, но со сходящимся треугольником.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.10.2012, 11:48 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #636004 писал(а):
vicvolf в сообщении #635978 писал(а):
Но котрпример не совсем удачен, так как исходный треугольник расходится.
vicvolf в сообщении #635978 писал(а):
Условие сходимости исходного треугольника надо включить в условие леммы.
Очевидно, что это бесполезно. Допишите тогда к последовательности $1;3;7;17;27;43;67$ член $-1$: для последовательности $-1;1;3;7;17;27;43;67$ получите все то же самое, но со сходящимся треугольником.

Указанная последовательность не является строго возрастающей, как требуется в условиях леммы. Давайте нормальный контрпример, если есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.10.2012, 13:37 


23/02/12
3335
Согласен. В лемме необходимо добавить условие, что под $p_n$ находятся только положительные разности. я действительно рассматривал реальные dm в ПСВ и там находятся только положительные разности.

Вот, например, треугольник Гильбрайта для ПСВ(30030):

9367
9371 4
9377 6 2
9379 2 4 2
9389 10 8 4 2
9391 2 8 0 4 2
9397 6 4 4 4 0 2
9403 6 0 4 0 4 4 2
9407 4 2 2 2 2 2 2 0
9409 2 2 0 2 0 2 0 2 2
9413 4 2 0 0 2 2 0 0 2 0
9419 6 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2
9421 2 4 2 2 2 2 0 0 0 0 2 0
9431 10 8 4 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2
9433 2 8 0 4 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0
9437 4 2 6 6 2 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0
9439 2 2 0 6 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0
9461 22 20 18 18 12 12 10 8 8 6 6 4 4 2 2 2 2


имеет разности между 9439 и 9461 (dm=22) только положительные, т.е идет возрастание по всем разностям при переходе от колонки под вычетом 9439 к колонке под вычетом 9461- они выделены жирным шрифтом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение28.10.2012, 19:31 


23/02/12
3335
Вношу исправления в лемму.
Лемма
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится строго возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками: $p_1,p_2,...p_{n-1},p_n.$ и $dm=p_n-p_{n-1}$, предположим также, что все разности, находящиеся под dm строки ИС положительны. Тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).
Доказательство
Проведем доказательство методом математической индукции.
Пусть НСИС=1, тогда по определению строки индикатора сходимости все элементы в первой строке разностей треугольника Гильбрайта не превышают 2. Так как последовательность нечетных чисел в основании треугольника Гильбрайта строго возрастающая, то в первой строке разностей нет нулевых элементов, т.е все $a_{1j}=2$, где $j=1,...n.$
Следовательно, в данном случае $dm=p_n-p_{n-1}=2$. Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда $dm=p'_n-p_{n-1}=4$ и НСИС станет больше 1, так как первая строка будет содержать 4 и будет не соответствовать определению строки индикатора сходимости.
Пусть НСИС=k. Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p_{n-1}$ $(a_{1,n-1}, ....a_{n-1,n-1})$ останутся без изменения. По условию $dm= p_n-p_{n-1}$ все разности $a_{1,n-1}-a_{1,n-2}\geq 0$, $a_{2,n-1}-a_{2,n-2}\geq 0$,.... Поэтому все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n}, ....a_{n,n})$ увеличатся на 2, поэтому разность $|a_{i,n}-a_{i,n-1}|$ также увеличится на 2. Поэтому , если в k-ой элемент $a_{k,n}$ был равен 2 (больше он не может быть по определению строки индикатора сходимости), то он станет равным 4 и НСИС станет больше k. Обратим внимание, что элемент $a_{k,n}$ не мог быть равным 0, т.к. в этом случае над ним должны были находиться две 4, но тогда НСИС не был бы ранее равен k.
Итак мы доказали, что НСИС увеличился, но на сколько?
Если в k+1 строке элемент под $p_{n-1}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=2$, то НСИС=k+1.
Если в k+1 строке элемент под $p_{n-1}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=0$, то НСИС=k+2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение28.10.2012, 20:57 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Так, я последнее сообщение пока не читал.
Пока про это:
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
При этом вторая разность принимает значение $p_{r+1}-1-2= p_{r+1}-3 $ и k возрастает пропорционально $p_{r+1}-3$, т.е. $k=O(p_{r+1}-3)$ (4).
Я вот такой менее тривиальный пример нашел: берем последовательность $2;2;...;2;2n;2n;...;2n$ ($n>1$, число двоек и $2n$-ок произвольно). Для нее $dm=2n$. Однако варьируя число двоек и $2n$-ок можно получать как сходящиеся треугольники, так и расходящиеся, причем для сходящихся ИС прыгает туда-сюда экспоненциально. Т.е. ИС от $dm$ здесь не зависит. Обратно, можно фиксировать треугольник (а значит фиксируется ИС), но при варьировании $n$ $dm$ вырьируется как угодно. Т.е. в общем $dm$ от ИС тоже не зависит.
Дописывая сверху строки, сохраняя свойство треугольника Гилбрайта, получаем еще менее тривиальный пример.
Т.е. для использования связи между $dm$ и ИС надо какие-то существенные условия добавлять. Какие - не знаю.

-- Вс окт 28, 2012 17:59:26 --

vicvolf в сообщении #637002 писал(а):
Лемма
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится строго возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками: $p_1,p_2,...p_{n-1},p_n.$ и $dm=p_n-p_{n-1}$, предположим также, что все разности, находящиеся под dm строки ИС положительны. Тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).
Пусть даже верно. Как ее использовать, если лемма не общая (т.е. для треугольников с отрицательными разностями)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение28.10.2012, 21:45 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #637037 писал(а):
Пусть даже верно.

Не пусть, а верно. В последнем сообщении доказательство.
Цитата:
Как ее использовать, если лемма не общая (т.е. для треугольников с отрицательными разностями)?

Лемма справедлива для ПСВ. Я это могу доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение28.10.2012, 22:10 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #637066 писал(а):
Лемма справедлива для ПСВ. Я это могу доказать.
А как применять лемму к треугольнику Гилбрайта, построенном на ПСВ, если в этом треугольнике есть отрицательные разности? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение28.10.2012, 22:17 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #637094 писал(а):
А как применять лемму к треугольнику Гилбрайта, построенном на ПСВ, если в этом треугольнике есть отрицательные разности? :roll:

Под dm отрицательных разностей выше строки ИС нет, есть только положительные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение29.10.2012, 16:06 


23/02/12
3335
Рассмотрим контрпример:
3 5 7 11 21 31 47 71
2 2 4 10 10 16 24
0 2 6 0 6 8
2 4 6 6 2
2 2 0 4
0 2 4
2 2
НСИС=6.
Обратим внимание, что разности в 10-ой строке соизмеримы по величине (они выделены жирным шрифтом), отсюда получаются такие разности во 2-ой строке и в результате в 3-ей строке отрицательная разность.
Если уменьшить первые разности, чтобы dm стала с ними соизмерима:
3 5 7 11 21 31 41 47 71
2 2 4 10 10 10 6 24
0 2 6 0 0 4 18
2 4 6 0 4 14
2 2 6 4 10
0 4 2 6
4 2 4
2 2
Все выделенные жирным шрифтом разности станут положительны и лемму можно применить.

Докажем, что в ПСВ(m) под dm до строки ИС все разности положительны.

Для dm в ПСВ(m) выполняется соотношение - $dm \geq p_{r+1}-1$.
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2},   p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Разность dm образуеися, как результат пропуска простых чисел от 2 до $p_r$, а разности рядом являются разностями рядом стоящих вычетов. Самым критичным является случай когда разница между dm и остальными первыми разностями минимальна. Это достигается при r=1.
Действительно, в этом случае, все разности равны, так как $p_{r+1}-1=p_{2}-1=3-1=2$. Это соответствует ПСВ(2).
Проверим ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2 .....
все разности положительны.
Следовательно для больших значений dm тем более все разности положительны.

Пример ПСВ(2510):

163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10
2 2 2 4 4 2 2 2 2 8
0 0 2 0 2 2 0 0 6
0 2 2 2 0 2 0 6
2 0 0 2 2 2 6
2 0 2 0 0 4
2 2 2 0 4
0 0 2 4
0 2 2
Все разности, которые находятся под dm выше строки ИС положительны. Они выделенны жирным шрифтом. Другой пример для ПСВ(30030) был приведен ранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение29.10.2012, 20:08 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #637361 писал(а):
Докажем, что в ПСВ(m) под dm до строки ИС все разности положительны.
...
все разности положительны.
Следовательно для больших значений dm тем более все разности положительны.
А куда делся случай $dm>p_{r+1}-1$? :roll:

Вообще, тут длинный кусок уже собирается. Надо его целиком охватить как-то...

-- Пн окт 29, 2012 17:31:24 --

Ладно. Мы проверяем это (не помню уж, почему):
vicvolf в сообщении #637002 писал(а):
Лемма
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится строго возрастающая последовательность нечетных чисел с возможными пропусками: $p_1,p_2,...p_{n-1},p_n.$ и $dm=p_n-p_{n-1}$, предположим также, что все разности, находящиеся под dm строки ИС положительны. Тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).
сначала я ее переформулирую, ибо
vicvolf в сообщении #637002 писал(а):
Тогда с ростом dm растет номер строки индикатора сходимости (НСИС).
контекстно-зависимое утверждение, само по себе бессмысленное в силу контрпримеров тут.
Там еще нечетность не нужна, но я ее оставлю - неохота думать.

Лемма. Рассмотрим 2 треугольника Гилбрайта $T_1, T_2$, пусть $T_1$ построен на некоторой последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p_n$, а $T_2$ построен на последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p'_n$, где $p_n'=p_n+2$. Пусть $\max (p_{j+1}-p_j)=p_{n+1}-p_n$, обозначим этот максимум $dm$. И пусть все разности под последним членом последовательности в $T_1$ положительны. Тогда $I(T_1)\leqslant I(T_2)$ (а не $I(T_1)<I(T_2)$, о чем узнаете ниже).

(Оффтоп)

(кстати, фразы типа "треугольник $T_1$ построен на последовательности $a_1,...,a_n$" можно обозначать $T_1=T(a_1,...,a_n)$ - так короче и понятнее)


В таком случае лемма верна, только доказательство производится не методом матиндукции (потому что индуктивная посылка вообще не используется), а просто тупо в лоб: пусть $I(T_1)=k$, тогда ... - все что во 2-й части написано.
Исключая:
vicvolf в сообщении #637002 писал(а):
Обратим внимание, что элемент $a_{k,n}$ не мог быть равным 0
Это неверно: достаточно взять $p_1;p_2;p_3=1;5;9$. И в данном случае видим, что $I(T_1)=I(T_2)=3$, потому следует, например, ослабить $I(T_1)<I(T_2)$ до $I(T_1)\leqslant I(T_2)$.

Попробуйте из кусков что-то цельное собрать хотя бы кратко. Мне неохота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение29.10.2012, 20:46 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #637469 писал(а):
куда делся случай $dm>p_{r+1}-1$? :roll:

Этот случай можно сравнить со случаем $dm=p_{r+1}-1$, для которого все разности положительны. Если dm больше, то тем более это выполняется.
Цитата:
Вообще, тут длинный кусок уже собирается. Надо его целиком охватить как-то...

Новая лемма будет отдельно, а это войдет в старую лемму 2, в которой будет ссылка на новую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.10.2012, 10:21 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #637469 писал(а):
Лемма. Рассмотрим 2 треугольника Гилбрайта $T_1, T_2$, пусть $T_1$ построен на некоторой последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p_n$, а $T_2$ построен на последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p'_n$, где $p_n'=p_n+2$. Пусть $\max (p_{j+1}-p_j)=p_{n+1}-p_n$, обозначим этот максимум $dm$. И пусть все разности под последним членом последовательности в $T_1$ положительны. Тогда $I(T_1)\leqslant I(T_2)$.

Спасибо!
Лемма. Рассмотрим 2 треугольника Гилбрайта $T_1, T_2$, пусть $T_1$ построен на строго возрастающей последовательности нечетных чисел с возможными пропусками $p_1,...,p_{n-1},p_n$, а $T_2$ построен на последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p'_n$, где $p_n'=p_n+2$. Пусть $\max (p_{j+1}-p_j)=p_{n+1}-p_n$, обозначим этот максимум $dm$. И пусть все разности под dm в $T_1$ положительны. Тогда $I(T_1)\leqslant I(T_2)$, где I(T) - номер строки ИС треугольника Гильбрайта Т.
Доказательство
Пусть $I(T_1)=k.$ Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p_{n-1}$ $(a_{1,n-1}, ....a_{n-1,n-1})$ останутся без изменения. По условию $dm= p_n-p_{n-1}$ все разности $a_{1,n-1}-a_{1,n-2}\geq 0$, $a_{2,n-1}-a_{2,n-2}\geq 0$,.... Поэтому все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n}, ....a_{n,n})$ увеличатся на 2, поэтому разность $|a_{i,n}-a_{i,n-1}|$ также увеличится на 2. Поэтому , если в k-ой элемент $a_{k,n}$ был равен 2 (больше он не может быть по определению строки индикатора сходимости), то он станет равным 4 и $I(T_2)$ станет больше k. Обратим внимание, что если элемент $a_{k,n}$ равен 0, тогда $I(T_2)=k$.
Если элемент $a_{k,n}$ не равен 0, то:
если в k+1 строке элемент под $p_{n-1}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=2$, то $I(T_2)=k+1$.
если в k+1 строке элемент под $p_{n-1}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=0$, то $I(T_2)=k+2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.10.2012, 15:05 


23/02/12
3335
Следствие 1
Если все элементы треугольника гильбрайта T: $a_{l,n-1}=0$ при l>k+1 , то $I(T)$ равен бесконечности, т.е. треугольник Гильбрайта расходится.
Это еще раз подтверждает правильность выбранного термина - сходимость треугольника Гильбрайта. Треугольник Гильбрайта также будет расходиться при не выполнении признака сходимости треугольника Гильбрайта (см. признак сходимости треугольника Гильбрайта в начале темы).
Следствие 2
Если в треугольнике Гильбрайта T существует ИС, то $I(T)< dm$.
Это следует из того, что при увеличении dm на 2 $I(T)$ максимально увеличивается также на 2, а при dm=2 $I(T)=1$, если в полученном треугольнике существует ИС.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 384 ]  На страницу Пред.  1 ... 21, 22, 23, 24, 25, 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group