Вектор-функция

[Nagva1]

Как доказать, что если у вектор-функции (от вещественного аргумента) в каждой точке производная параллельна ей самой, то функция не меняет направления?

[Eau]

проинтегрируйте

[Nagva1]

Что? Равенство $f'(t)=k(t)f(t)$ ?

[ewert]

По условию $\vec f\,'(t)\equiv a(t)\vec f(t)$. Формально это -- дифференциальное уравнение относительно функции $\vec f(t)$, решение которого выглядит как $\vec f(t)=\vec f(t_0)\cdot e^{\int_{t_0}^t a(\tau)\,d\tau}$ (поскольку именно так оно получается по каждой координате). Вот направление и не меняется.

[Nagva1]

А, ясно. А можно доказать как-то через предел $\lim_{h \to 0} {\frac{f(t+h)-f(t)}{h}}=f'(t)$ ? Т.е. получить какое-то противоречие?

[ewert]

Nagva1 в сообщении #636988 писал(а):

А можно доказать как-то через предел $\lim_{h \to 0} {\frac{f(t+h)-f(t)}{h}}=f'(t)$ ?

Сильно сомневаюсь. Проблема в том, что для векторнозначных функций нет теоремы Лейбница, на которой обычно основываются подобного рода рассуждения.

Но можно вот что сделать, не прибегая к дифурам (которые в этом контексте и впрямь выглядят неэстетично). Пусть $\vec f(t)=g(t) \vec e(t)$, где $g(t)=|\vec f(t)|$ и, соответственно, вектор $\vec e(t)$ единичен и при этом параллелен вектору $\vec f(t)$. Тогда $\vec f\,'(t)=g'(t)\vec e(t)+g(t)\vec e\,'(t)$. Однако известно, что для единичного вектора $\vec e(t)$ его производная если не равна нулю, то перпендикулярна ему самому (что, собственно, и объединяется в понятии ортогональности -- просто потому, что $0=\left(|\vec e(t)|^2\right)'=2\vec e\,'(t)\cdot\vec e(t)$). Поэтому из параллельности векторов $\vec f$ и $\vec f\,'$ (т.е., собственно, $\vec f\,'$ и $\vec e$) следует $\vec e\,'(t)\equiv\vec0$, а уж из этого совершенно откровенно следует $\vec e(t)=\overrightarrow{\mathrm{const}}$.

(Оффтоп)

Я всё это когда-то знал, но давно забыл. Вот и приходится сочинять на лету. Первая попытка сочинительства оказалась неудачной, хотя формально и вполне корректной.

[Munin]

ewert в сообщении #637046 писал(а):

Проблема в том, что для векторнозначных функций нет теоремы Лейбница

А что это за теорема?

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #637082 писал(а):

А что это за теорема?

Приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную в некоторой промежуточной точке. Для векторнозначных функций оно не действует.

Прошу прощения: это был Лагранж, а не Лейбниц. Ну фамилии я постоянно путаю, тут уж ничего не поделать. Начальные-то буквы одинаковы; ну как тут не спутать?...

[Munin]

ewert в сообщении #637096 писал(а):

Приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную в некоторой промежуточной точке. Для векторнозначных функций оно не действует.

А. Действительно, не действует.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #637096 писал(а):

Прошу прощения: это был Лагранж, а не Лейбниц. Ну фамилии я постоянно путаю, тут уж ничего не поделать. Начальные-то буквы одинаковы; ну как тут не спутать?...

Давайте я ещё подкину: Лежандр, Ланжевен...

[Nagva1]

Спасибо, получилось!