Равномерная сходимость функцион. последовательности, ряд

[ewert]

champion12 в сообщении #636655 писал(а):

$$0,5\ln\Big(1+\frac{i}{\sqrt[4]{2}}\Big)-0,5\ln\Big(1-\frac{i}{\sqrt[4]{2}}\Big)$$

Всех коэффициентов я не проверял, но тут явно потерян общий множитель в виде мнимой единички: Вы вычитаете друг из друга два взаимно сопряжённых комплексных числа и, следовательно, результат оказывается чисто мнимым. По этой же причине и вычитать ничего не надо, а надо просто взять мнимую часть логарифма (формула для которой, надеюсь, известна). И, строго говоря, надо ещё обосновать формальную корректность выкладок, т.к. комплексный логарифм всё-таки многозначен.

По первой задаче -- ни к чему вся это возня со всякими нормами и критериями Коши. Последовательность очевидным образом стремится к нулю поточечно; следовательно, и равномерно стремиться она могла бы лишь к тождественному нулю. Последнее откровенно опровергается тем фактом, что при иксах, пробегающих полуось, аргумент синуса также пробегает всю полуось независимо от того, каков номер функции.

[xmaister]

ewert в сообщении #636777 писал(а):

По первой задаче -- ни к чему вся это возня со всякими нормами и критериями Коши.

Не понял, почему? Ведь ясно что $\|f_n\|=n$, и сразу же ясно, что не существует такого $N$, что для всех $n,m>N$ $\|f_n-f_m\|<\frac{1}{2}$, т.к есть очевидное неравенство $\|f_n\|-\|f_m\|\le \|f_n-f_m\|$. Чем плохи такие рассуждения?

ewert в сообщении #636777 писал(а):

И, строго говоря, надо ещё обосновать формальную корректность выкладок, т.к. комплексный логарифм всё-таки многозначен.

Да, точно. Я это упустил из виду .

[ewert]

xmaister в сообщении #636780 писал(а):

Чем плохи такие рассуждения?

Не чем, а как: эстетически. Они заведомо избыточны. Из $\|f_n\|=n$ сразу следует, что $\|f_n\|$ не стремится к нулю, а должна бы (в данном случае).