2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение18.10.2012, 22:13 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Дана последовательность $\left\{x_n\right\}.$ Как записать с помощью логических символов определение предела подпоследовательности
$$\lim_{k\to\infty}x_{n_{k}}=a$$
Сомнительный вариант такой
$$\forall\varepsilon>0\exists k_\varepsilon\forall k\left(k>k_\varepsilon\to|x_{n_{k}}-a|<\varepsilon\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение19.10.2012, 10:25 


01/09/12
174
Только это не определение предела, а утверждение о том, что а - предел подпоследовательности. А так, всё верно - просто нумерация идет по k.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение19.10.2012, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
А чем он сомнительный?

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение19.10.2012, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10992
bot в сообщении #632748 писал(а):
А чем он сомнительный?
У меня два предположения:
1) Заменить $n_k$ на $k$.
2) Заменить $\forall \varepsilon > 0 ~ \dots$ на $\forall \varepsilon ~ (\varepsilon > 0 \to \dots)$

Но второе, вроде, не так уж и обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение19.10.2012, 21:14 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Нашёл в своих тетрадях такую запись: $\forall\varepsilon>0\exists k_\varepsilon\forall k\left(n_k>n_{k_\varepsilon}\to|x_{n_{k}}-a|<\varepsilon\right)$ :?: :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение20.10.2012, 04:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Вообще-то подпоследовательность строится так: берётся возрастающая последовательность $n_k (k\in \mathbb N)$ и рассматривается последовательность с этими номерами - это по сути композиция двух функций $k\rightarrow n(k)=n_k$ и $n\rightarrow x(n)=x_n$ в результате которой получаем функцию $k\rightarrow y(k)=x(n(k))=x_{n_k}$.

Надо записать, что означает равенство $\lim\limits_{k\to \infty}y(k)=a$. В точном соответствии с определением предела и пишем то, что Вы написали в стартовом сообщении.
Что касается неравенства $n_k>n_{k_{\varepsilon}}$ из Вашей старой тетради, то оно, конечно, равносильно неравенству $k>k_{\varepsilon}$ в силу монотонности последовательности $n_k$, но в данном контексте выглядит коряво.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение27.10.2012, 14:19 


01/09/12
174
Почитайте книжки по общей топологии (Энгелькинга или Александрова) и Вы забудете о проблемах с понятиями сходимости навсегда!

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение27.10.2012, 17:12 
Аватара пользователя


20/04/12
250
$(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a):=$
$:=(\forall \varepsilon (\varepsilon \in \mathbb{R} \wedge \varepsilon>0 \Rightarrow(\exists N(N\in \mathbb{N}\wedge (\forall n(n\in \mathbb{N} \wedge n \geqslant N \Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon)))))).$
Самое развернутое определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение27.10.2012, 20:04 


01/09/12
174
А зачем так сложно?, мне кажется, это не просто самое развернутое определение, а, пожалуй, самое непонятное и загроможденное.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение27.10.2012, 20:07 
Аватара пользователя


20/04/12
250
Chernoknizhnik в сообщении #636610 писал(а):
А зачем так сложно?, мне кажется, это не просто самое развернутое определение, а, пожалуй, самое непонятное и загроможденное.

Любое другое определение записано с помощью сокращений.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел подпоследовательности (запись с помощью символов)
Сообщение27.10.2012, 20:29 


01/09/12
174
Tакой формализм уж точно только запутает и запугает (первокурсника, например). А насчет любого другого определения не соглашусь - весьма общее, пожалуй, наиболее общее определение предела - любого - хоть последовательности, хоть функции, хоть интегральных сумм более сложно с точки зрения конструкции, но весьма просто для понимания (это я про предел вдоль фильтра) не сокращается до той строки, которую Вы написали, в силу большой общности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group